三角函数内容规律 P;!,Z!
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r
s
R
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1、三角函数本质: tele'nkd
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三角函数的本质来源于定义 (}=rFo`
R%jAoJ?
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5hQ
%6:
W `loCJ%
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Epa|<33gN
y,%qX0h_'
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: & $6:d`>~
WABek :
推导: sAG?e
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OzNczM
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 G[$5E%<Sn|
\
EaJN~
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 9kL~\w*!
#/%y{(`hP
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) lJ}K^vT/
chl,OfFx?
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &~9TM?k
W1#OOt{
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 22e0|B/C
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C;#
[1] "Jb*'G
g^jlPNX{
两角和公式 PS/b&G0~
QP
M3!4L.8
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q]\WWj;>7
8:<DDyM
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB kH2&d6cm
"NAL47/
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (;2d
mFyYI0n
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ifXm4#w+
)J9d9ypB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gl9w2h
U8
N<ya~|M
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) u
|VV(U
](h19n
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 1Vstg!>ww
f
kxl"
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Fx^s~`_i
jbglGC
倍角公式 Xs$sD}
2[AAC> )Y
Sin2A=2SinA•CosA 7kM gT
/k_fh0
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 24'^"EAB
TwVnF2-
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) }LpSo`Wty
d^ yZo
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Ow7xO
=9|A(W9<
三倍角公式 '[PXgCm#8
M2%@8G]Z
FXY=F-6uF
wuP8i=QFU
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 81"Au'_
:r3;K6I)D
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) t2~R9f$
8L E9F(
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :?9c?RUM3)
! {2gJ=
三倍角公式推导 SE:0Q9]
1P #^=H
sin3a R[D@6
A=}Q+biBD%
=sin(2a+a) Dr?(q
uoSa
G'&}ho6J,
=sin2acosa+cos2asina {tq&cF
mI(!G GnX8
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina r('7,N(
I*mHSK
=3sina-4sin³a -W%JlBpl
zLm+@w"
cos3a h_qVF[c
aZ6A:p"
=cos(2a+a) 8{9WMQB3i&
f[- J",11A
=cos2acosa-sin2asina 57:;zXYM
`=k*Twi!
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa cJw6r~-
"}FR~&Sx
=4cos³a-3cosa *^k*(r)8D
*wzqag-U`
sin3a=3sina-4sin³a QF"t8X2%
%J:B.-xjaT
=4sina(3/4-sin²a) )d%x'vXg
#JDeo^f
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3\qj%X
T
Cq$F
=4sina(sin²60°-sin²a) [?-?X2
?K?ZhF 9N
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (RNoi
S&<
nf) -t\
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] YIh]QeD
(KY.YGD|&
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) fwxFeJo
e rwsFn
cos3a=4cos³a-3cosa f}rVNt/Bf1
yW
T~?/Gy
=4cosa(cos²a-3/4) =fhPAa
}5F:o&kP
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ux|C
qEv]
wPv#m-Kx
=4cosa(cos²a-cos²30°) ,ED2-|i_4
/S~+#d
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5h 3$%E
ZJ"A7#9
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} aXaV#W
.FNHLy
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v]q/d9+m
0jzQ!zhhJ
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] nx]wFze=
S26>U'LU
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .ujUZen'}
Uhd=#AmQ1
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) }YBz-X
7Wf7X<jM
上述两式相比可得 Jc)Zean
A`T=bUsP>4
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) [*vxz
V
`<QLuT{
半角公式 ~txsOjJ]p
xRy@X%d\c
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); f,U zsg
]W!'~_F=(
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <eR\s
^2{%qN9L
和差化积 "Xlo^D
vI.lXh
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pJpJvMB~X
&"]{E
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] NPXiOi|
o]-vm ?~D
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B@| piW@Y
eqZ'^aw'
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I<I3~ S{_
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o%T
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h+.j!0
v}nG-nTQ
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %~)&uXO$T=
'gA xBf'
积化和差 [,R~GfhKb0
9+KW}^PS
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] SgU1#zFJa.
NyXH(Yj[
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fT~I(}%
v;`_{@E[>
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "md"~EN
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