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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 P;!,Z!  
 !0`&  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r s R  
|FGfpnLyY  
  1、三角函数本质: tele'nkd  
!S/?el\(  
  三角函数的本质来源于定义 (}= rFo`  
R%jAoJ?  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5hQ %6:  
W `loCJ%  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Epa|<33gN  
y,%qX0h_'  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: &$6:d`>~  
WABek :  
  推导: sAG ?e  
hr OzNczM  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 G[$5E%<Sn|  
\ EaJN~  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 9kL~\w*!  
#/%y{(`hP  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) lJ}K^vT/  
chl,OfFx?  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &~9TM?k  
W1#OOt{  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 22e0|B/C  
6n6 C;#  
  [1] "Jb*'G  
g^jlPNX{  
  两角和公式 PS/b&G0~  
QP M3!4L.8  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q]\WWj;>7  
8: <DDyM  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  kH2&d6cm  
"NAL47/  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (;2d  
m FyYI0n  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ifXm4#w+  
)J9d9 ypB  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gl9w2h U8  
N<ya~|M  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) u |VV(U  
](h19n  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  1Vstg!>ww  
f kxl"   
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Fx^s~`_i  
jbglGC  
倍角公式 Xs$sD}  
2[AAC> )Y  
  Sin2A=2SinA•CosA 7kM gT  
 /k_fh0  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 24'^"EAB  
TwVnF2-  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) }LpSo`Wty  
d^ yZo  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Ow7 xO  
=9|A(W9<  
三倍角公式 '[PXgCm#8  
M2%@8G ]Z  
   FXY=F-6uF  
wuP8i=QFU  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 81"Au'_  
:r3;K6I)D  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) t2~ R9f$  
8LE9F(  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :?9c?RUM3)  
! {2gJ=  
三倍角公式推导 SE:0Q9]  
1P#^=H  
  sin3a  R[D@6  
A=}Q+biBD%  
  =sin(2a+a) Dr?(q uoSa  
G'&}ho6J,  
  =sin2acosa+cos2asina {tq&cF  
mI(!G GnX8  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina r('7,N(  
I*mHSK  
  =3sina-4sin³a -W%JlBpl  
z Lm+@w"  
  cos3a h_qVF[c  
aZ6A:p"  
  =cos(2a+a) 8{9WMQB3i&  
f[- J",11A  
  =cos2acosa-sin2asina 57:;zXYM  
`=k*Twi!  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa cJw6r ~-  
"}FR~&Sx  
  =4cos³a-3cosa *^k*(r)8D  
*wzqag-U`  
  sin3a=3sina-4sin³a QF"t8X2%  
%J:B.-xjaT  
  =4sina(3/4-sin²a) )d%x'vXg  
#JDeo^f  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 3\qj%X  
T Cq$F  
  =4sina(sin²60°-sin²a) [?-?X2  
?K?ZhF9N  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (RNoi S&<  
nf) -t\  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] YIh]QeD  
(KY.YGD|&  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) fw xFeJo  
e rwsFn  
  cos3a=4cos³a-3cosa f}rVNt/Bf1  
yW T~?/Gy  
  =4cosa(cos²a-3/4) =fhPAa  
}5F:o&kP  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] ux|C qEv]  
wPv# m-Kx  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) ,ED2-|i_4  
/S~+#d  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5h3$%E  
ZJ"A7#9   
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} aXaV#W  
.FNHLy  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) v]q/d9+m  
0jzQ!zhhJ  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] nx]wFze=  
S26>U'LU  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .ujUZen '}  
Uhd=#AmQ1  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) }YBz-X  
7Wf7X <jM  
  上述两式相比可得 Jc)Zean  
A`T=bUsP>4  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) [*vxz V  
`<QLuT{  
半角公式 ~txsOjJ]p  
xRy@X%d\c  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); f,U zsg  
]W!'~_F=(  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <eR\s  
^2{%qN9L   
和差化积 "Xlo^D  
vI.lXh  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pJpJvMB~X  
&"]{E  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] NPXiOi|   
o]-vm ?~D  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] B@|piW@Y  
eqZ'^aw'  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I<I3~ S{_  
!j o%T  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h+.j!0  
v}nG-nTQ  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %~)&uXO$T=  
'gAxBf'  
积化和差 [,R~GfhKb0  
9+KW}^PS  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] SgU1#zFJa.  
NyXH(Yj[  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fT~I( }%  
v;`_{@E[>  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] " md"~EN  
96g&<|[  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] X\=-F  
Aes) `ZOc  
诱导公式 t57UHlP"  
HGB#5m*WY  
  sin(-α) = -sinα G+=w;&7o  
Oj3E!p%  
  cos(-α) = cosα jD;CUke_  
O`[X`CGWN  
  sin(π/2-α) = cosα v^x*u7  
`L M@([  
  cos(π/2-α) = sinα 2 )}yz[ _  
>_rq?o  
  sin(π/2+α) = cosα 2QROzq[uPO  
uIdkKq<.  
  cos(π/2+α) = -sinα 8!TiPQp|}  
&x .!k  
  sin(π-α) = sinα zCgc~V  
[~FH2 @m   
  cos(π-α) = -cosα p80o( 7  
zZ+Fx=@w;p  
  sin(π+α) = -sinα } 1Sz9"  
u{Nl EZM<  
  cos(π+α) = -cosα .G(`%kT'a  
S_d_M6}  
  tanA= sinA/cosA !r,n"  
~9,H  
  tan(π/2+α)=-cotα mzc6v]e u  
jnCQ=  
  tan(π/2-α)=cotα G1]xx&<}  
*11CR0ya  
  tan(π-α)=-tanα (dbI't  
<^1&PSrm  
  tan(π+α)=tanα uA8;)I&  
.l+d`*ZES  
万能公式  aO+|  
--xcnobr  
   q EH! B_  
>%)|7+  
其它公式 fv`l@  
m3C!Zd%  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 ;VG#r,v  
QVQoGOQs  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 #+a if;9  
or>!)  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 i# %U&9  
!N?2<k#ER  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 MYb2`\  
@deOoA$,  
  对于任意非直角三角形,总有 ^SuiQ<  
93AORA`   
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R@3<=02  
:fRa'eNW2B  
  证: kZ-QNO/QO  
+?i1jF6%v  
  A+B=π-C pN|a*\ez  
A5d` $+Nz  
  tan(A+B)=tan(π-C) &;L29xSl  
zU~c2hk0  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ')JsH9  
vP0[gaPA,  
  整理可得 V_Po?yxn  
.R'/n.FFm  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .pRo{O:k  
dS.Z4tho  
  得证 w3#eiE}[  
*AKZt|L  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +bWY[YSsv  
9j%{KQ  
其他非重点三角函数 ^*Q}k:;  
3KLOO?O*  
  csc(a) = 1/sin(a) mWJG.}+;l  
0y eUgzZR  
  sec(a) = 1/cos(a) w _~   
Rfa@K!  
   y]>&gzj  
%]cLr9HKk  
双曲函数 C(Wrby1 s  
(986(x<.  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?-~tS{  
nSK9i w+  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =y3jE8`  
v0 H  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =N%}WQ^ k  
hB$G _#q$  
  公式一: "v@LooAO&  
1KSkp':  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: E2,1X.YmA  
Xb8 (O2  
  sin(2kπ+α)= sinα <('r>}  
L*K~*J  
  cos(2kπ+α)= cosα w*Q;Pv*  
roWFM3yV3  
  tan(kπ+α)= tanα Xf{QiH4LJ  
Csuc9ofB  
  cot(kπ+α)= cotα kb7tz0i/  
p#gC v   
  公式二: s"[L)fIcg  
GP?[y  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ~b6ykL%U  
a@BEPsb  
  sin(π+α)= -sinα VB,:`  
p]7f#3j(c  
  cos(π+α)= -cosα 96@RhZ(u  
J>kAEx C  
  tan(π+α)= tanα [dj x~^`  
?:B=|0Va  
  cot(π+α)= cotα vUk~r'  
;M h0|o#  
  公式三: 6)}]S  
|F)S|4?4%  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: j,pYjo-':  
+-<gBspR  
  sin(-α)= -sinα 4!r)9lI?  
n13}q*&`h&  
  cos(-α)= cosα bl!/|Xd  
USJmlzA%  
  tan(-α)= -tanα 3sW 1jN/af  
G_IPIYk  
  cot(-α)= -cotα h ?Lxo8<  
_f\?]n++8  
  公式四: EuZd* ,"V  
PN*@eg7U=  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:  dJw3|P>  
HBa3 P o5  
  sin(π-α)= sinα =oeDN91P  
",S(y{tZ  
  cos(π-α)= -cosα *[X8Afez?@  
:EKikyhW  
  tan(π-α)= -tanα ~cEg TP=G  
0IQ`hH_  
  cot(π-α)= -cotα ]n -l  
6=|~d!}J  
  公式五: hz WsZSWH  
6K`QDAzL  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: SD 7DmpI  
"dyk7I]c  
  sin(2π-α)= -sinα Y@f+8s>_C  
r9Dy#YT_  
  cos(2π-α)= cosα ?-6^JS'  
z]*4)8>  
  tan(2π-α)= -tanα =%96cm%r)  
%`'RgS (  
  cot(2π-α)= -cotα ABn g4^"  
{D7oPZM  
  公式六: .GZA8j  
lX({[}$i  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: :Ke}+"  
PX`TKFs  
  sin(π/2+α)= cosα _Ie+ D#%  
q"0*<<#'  
  cos(π/2+α)= -sinα "nuhI  
d"z)S  
  tan(π/2+α)= -cotα rx;d5Z_K  
PR==FurX  
  cot(π/2+α)= -tanα Ma/ea-Q  
bZY!xm:  
  sin(π/2-α)= cosα Q /\ yLq  
[ u \_Y,\  
  cos(π/2-α)= sinα dC5<=|:2  
Yl.'XnCN-  
  tan(π/2-α)= cotα F!]g/W@g  
I{BQvCX  
  cot(π/2-α)= tanα .$s|eGBD>  
:~FK =cu  
  sin(3π/2+α)= -cosα IOS0$uB*  
{**~ k"I  
  cos(3π/2+α)= sinα @1$Jr  
daN@;{  
  tan(3π/2+α)= -cotα eGSi_[a  
^yK$R y  
  cot(3π/2+α)= -tanα o[tJAU  
96Sd=nb!*|  
  sin(3π/2-α)= -cosα y5G] :6k  
cEd@vt9&  
  cos(3π/2-α)= -sinα PodX~'uu  
L3){G!QWQJ  
  tan(3π/2-α)= cotα = jAvrC  
tIT,  
  cot(3π/2-α)= tanα lsJ+d|{zrR  
5OW2'wo>  
  (以上k∈Z) [+J{BKc  
M\h5v  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Hk<ps'&x&m  
U$u{5),m5  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = v nzC1>n  
y "|&[L  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3}G=p`w1|)  
Bo0r.3  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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