三角函数内容规律 LO 8VdM8D
9seHM!yv
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .n_LmK=
83A!| R
1、三角函数本质: .IywF0lps
x7Pf.\2^
三角函数的本质来源于定义 zj6 ipb3
4'cR ih
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4.n_2lE"\
w*!v^!$
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 +@\:A@VaU[
g|~"\wk
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: J^]8~\LL
nlg#]<=O
推导: t]^%q>]jk
}cJf?#
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 S:TS>EFX
428bV`M
!
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
U%$4Z
T3^w{xQD}
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) IXB{[h}T
hr$~1<2~}d
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;+',
]x'C
{ <s= &=
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)
j"`ow7
Eg>4K`97
[1] . .9\/=aM
.Gy_#wb
两角和公式 4Yz,UY
8
Ro~XR 9>c
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {URRU-Q
#\lx>1N(
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB DYLT_]f
Luh^\yMu
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c$78f 5
e!I0hL0#
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &g^x=
%FR#$vXKZ
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) NxTk
$oU
8u
7 G!
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *lY,Y#xU
dh&Pn;
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) t9+7P2g`U
ta>IGH
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i1J&B
!*Zd?~_uU
倍角公式 f
at[L%8
w;_i_b
Sin2A=2SinA•CosA _Daw!egm
W
O"ub9oF
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 gt/5/r
6 Z&
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) =fX{xt`
j]:)^"/i'
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ld0 S3MS\
c/$[0L,-
三倍角公式 Etz3&s[nN
Z@Wd2XH5
TM'Jz
Gv?!0gw30
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Xm_,h|
kWSRgxe
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4 rTb)
DpRAb[ \q
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x8H;3@ Q)8
VU-gU`Ru
三倍角公式推导
$@?_C
Pma
mqDY
sin3a wPK1 &aE
}HxZ,UE
=sin(2a+a) yVfL@*
H*I2A:DMg
=sin2acosa+cos2asina EVkv5Ha ,
I4(X=(Q
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6DbGi?D
+3Kv/H
=3sina-4sin³a ?mpz@}av
dfN uP\u1
cos3a LiQr I8D =
;#()XsU-
=cos(2a+a) p l=koc.?
j/J-_1
=cos2acosa-sin2asina ?QVKJC''
jLhcU1&
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 7']#|X
</$?$4,&F9
=4cos³a-3cosa nO0F0"
gCaGZFZ;
sin3a=3sina-4sin³a +; )O{
zImZ
=4sina(3/4-sin²a) KX]_cj%t!
KCK^~m
=4sina[(√3/2)²-sin²a] /giQP:]b
Eu@v$Um
=4sina(sin²60°-sin²a) |g
jHI
%6Zl5*
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) u`|=Ibi
"dxJ!oq
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /3iFw&_~Z
@)U6%MU <-
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7{Q`+a_y
NfT[ ;BI:
cos3a=4cos³a-3cosa r_^cY>uw
xYelGln
=4cosa(cos²a-3/4) "a:O Q
^
{=bNc@o
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Wu0DeX
rmvIs,6
=4cosa(cos²a-cos²30°) s.V_9O7
u.deWgFxAH
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z'9;_x?
D\jK6#a5E
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *:3h..q\
L/iH.O
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _xT\|N
StOsD?R
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] yx; xA
D
4ia#GA
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] m#3K$4bB
,SF!aS
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @ `AIG
ZL8W3b,f
上述两式相比可得 amk
-R:$pTv
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]wzLKl?~`
,eZ@t4f
半角公式 ZA;16dE m
GK-Rt/1H
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #lk%l%WU
HcF>VT*)
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. m
C0HO0n"
r,\~
I`h"}
和差化积 *gL\)
md=kjXM>1
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3vU*Zk\N
M<g/R52)
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *,(g@2%_
]"#d]VO_1
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vHh5!BNl3
k@/GI(*p<
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wT`.@=
W>s5,
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) IAGLv/
M[X$"IMt
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) im$`Fp
{z,kd V
积化和差 LvhB[8i>
zsMa32p;
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] FEj{4zf
CgphN{r\
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,iP:k+X.+
Gk_ c3Td
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] D0!UFR>
n JA#Bd(
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Y!k4n3Dc
o!,+b&:
诱导公式
=[3h,+I(_
'Ju[hX
sin(-α) = -sinα ]-J>0wl$'
|SBA,GL
cos(-α) = cosα WMm&3@,
Jc?tk)j
sin(π/2-α) = cosα
B5%)10)
Dy)!x8
cos(π/2-α) = sinα |^L2,K;ME
;JW|\{dO
sin(π/2+α) = cosα v1<oocFaP
xF.fvi 2
cos(π/2+α) = -sinα xcYY%
-2u#: %
sin(π-α) = sinα QK8q#fBH
Y8,mt:a
cos(π-α) = -cosα *R}V.$<
0RS6^%wh
sin(π+α) = -sinα YqHp*@7u
?<PZ ~ PX
cos(π+α) = -cosα
DZfUC
6Og;C$?s/
tanA= sinA/cosA UT_|r<9
wj%N`S{!
tan(π/2+α)=-cotα Ue[I.bD'p
,"`'x$Xcw
tan(π/2-α)=cotα 3%>{^300
()DMdR>!
tan(π-α)=-tanα 3QmP=B9
SN{_(2,
tan(π+α)=tanα X{euY
;7
F,G(
万能公式 s)q
M8+*j
u@Vj7P>
uDS vV8mM
f zH*i]@%W
其它公式 vgVc'l~U
om[LNRC0a
(sinα)^2+(cosα)^2=1 vm1.{.]
s
)h.0
1+(tanα)^2=(secα)^2 pG8YLg)
Sv8)E+9x&
1+(cotα)^2=(cscα)^2 u\ 0i*Pb
t+M#
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2lHl}-#X
&@
i
HI/
对于任意非直角三角形,总有 p@tJyg5N
u4&/vL
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Pn=zOY6F_
jahC@
证: 'TQH)r
3 '7MzHd
A+B=π-C Y9mvgY"U(
Ncvf&q3%
tan(A+B)=tan(π-C) &Wj2:lHo
~:<
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) A@M: OE
ThSl<ON+X:
整理可得 oQDh)+s~.
Lu~)?Z( >V
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 45L(jXyi[
*!T]z!|B
得证 X[R^H9Ad
ZBA{
g
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Fv<kZC|
^3|,qCI
其他非重点三角函数 Tvc?Z/Cz&
zc>Ry
csc(a) = 1/sin(a) 5w5@#GCY##
2,qj
sec(a) = 1/cos(a) J+!?&L<\
}
sI|!
LPQ._baX
/mb!S
双曲函数 =Gh"gH<v
\GZAn-b
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -<T+)M]Gq
Bkr0=
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %(Wo/:
KH XSNFi
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) TL%&tm
kkxVH~p%
公式一: ey>P`*OS
-c^9-C9C6
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: D$"q8'*
3`R$O"]:O
sin(2kπ+α)= sinα |HI
l?$`3/
oc@/q#wl
cos(2kπ+α)= cosα fO;e}>tX[]
@-?CfT Q%
tan(kπ+α)= tanα Z7ObFGXY
g:Drt8qj
cot(kπ+α)= cotα {X>s#|/^6
R@~ z4&a:
公式二: "q2?GH
iVs6
zr
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
'50:3w
0y;43?f&
sin(π+α)= -sinα Y&zrxaPQJ_
WI B|l3X
cos(π+α)= -cosα h >_pJ'j}
+&sN. A>9
tan(π+α)= tanα ?M`U.40w
(8H= 4^
cot(π+α)= cotα Pa:pe[7G
T8B &=_Yu
公式三: /]c1~cWR
AqE_ SiW
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: V{xXqw8T
/AVT?KhQ
sin(-α)= -sinα GcNl \`;
Ii9s$#1$
cos(-α)= cosα `@uGi3
(gE$<s4
tan(-α)= -tanα _%pZ5"Bu
!U!(OK5ZGf
cot(-α)= -cotα h7u%5L]
vq(t2tS
公式四: n2D4 js
,|T_6mA
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: -7d%
;
C
E3Il@O?
sin(π-α)= sinα {7=at
HT
CZVQnS
cos(π-α)= -cosα ^ ?911M
W2edTqS5
tan(π-α)= -tanα HEVVk?E`M+
%}u@G0
cot(π-α)= -cotα J!`B6C])6l
<]/1#xuP
公式五: N^N#6[ l
I_ 3|@\i
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 2@B[rJ>,>
+PW1snAxA
sin(2π-α)= -sinα UcGYWw
<QWwbD[8
cos(2π-α)= cosα Srk@2u+
*c:P8
^h
tan(2π-α)= -tanα PX_ .&&l
oe()#Nzh
cot(2π-α)= -cotα QK1ZEIKR
k,vtvd
公式六: ?h)8_2rN
N[bSN9>Y
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Lm[0kuN"i
$"^PUH MM
sin(π/2+α)= cosα 2j.GjY-
hcl <H
cos(π/2+α)= -sinα ZX $?T=v
l F{*STIE
tan(π/2+α)= -cotα [bb'J/9e@
VZV]W&6^#
cot(π/2+α)= -tanα b0H[){iO
X
E}
sin(π/2-α)= cosα >1\]O%pM
k.=%
qY
cos(π/2-α)= sinα
1?&mWf
Vk>.4WH6f
tan(π/2-α)= cotα b}yY$"=L
fdbWK9t
cot(π/2-α)= tanα 1-he*R%R
EtdE$-hl
sin(3π/2+α)= -cosα 1kUYq3(`
e|vN+
cos(3π/2+α)= sinα e1HY!nKr@
)|+&Y*@
tan(3π/2+α)= -cotα o{E\X8\
N5lR!O
D
cot(3π/2+α)= -tanα |8uH&=ttL
^wQu8i%
sin(3π/2-α)= -cosα ^gTZYgx1l
w6_$63A&Z
cos(3π/2-α)= -sinα *$7v+KT.<
dW,~(*
tan(3π/2-α)= cotα ]hbwk[i+ '
2Z{r]Y\iw
cot(3π/2-α)= tanα ?0r9GvsC
$Ee2[R
(以上k∈Z) EBVD1lp
&)p;&p3F
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 "Er=AEF-
sjdU9)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $v1v+b&vz
@sq hSJ
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } b0vE+Rb{
$j[?I}cH#q
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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