日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ln;_n#  
-p9>' [O  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T(`y^*\ a  
1H{Zt]C<  
　　1、三角函数本质： ZEZ<hSQ  
U%yzdV"H  
　　三角函数的本质来源于定义 $pZU@SoA  
QyjWLkUmiX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }$'z$0(B  
],n.&Tr  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 z8 V %  
[F`OS'F  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： b8]4u@ 6  
{rl $'q^  
　　推导： p@.*aN  
>6 tWQ/_T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ?.K"m!  
|il7/r *=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) N4 0qh`  
5MnEtPDd+  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) c M_9h:  
1tq:dCm  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 s2m8wH  
Y_(/lweo ]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） f!M,>u?  
^9!N ^vC  
　　[1] >JCJi+.o  
 5cWTN  
　　两角和公式 lOA5V=1En  
>j^.vi"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB shKWm.  
SRfi0 8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  T% o;c'  
=0y@Yn-YX  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB pIunZZm  
T%b|;^   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB B t||  
PcJ!A&4  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) MMdir1u[  
P lnCWI&Z  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WH ~v;B68  
D@dq1yz0  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  w4g-Q3 |  
!l]9C_2  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,6`32c|  
#r; XgtQ  
倍角公式 ~PT*4{v  
[al=  
　　Sin2A=2SinA•CosA :sZ(akY  
FY of c  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8Bw s_\  
ZLFs%?  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） =? `y  
SR\VQ -s,  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _7w#;Y$?  
R.W7S;0l}  
三倍角公式 HJ<<{h~ ?%  
0HRpg)?cJ  
　　 &@y'd|Jz  
7qkfE=V  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Nr0WkEA  
lF<ZYO^9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,vP+aLi~d  
J$,C >Lz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) w&Kuf  
c=U#]x vP  
三倍角公式推导 u~7Uq3  
,[R,.]-  
　　sin3a d0r{sJ78  
g+A'/G  
　　=sin(2a+a) ?vIa<nMRo  
lSAoLD U  
　　=sin2acosa+cos2asina :UR]3DC  
}3oqtI\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /zqJA_  
+ IY(t&  
　　=3sina-4sin³a {2k  
9qnex9Px  
　　cos3a *1>fw<  
sToi Aun?  
　　=cos(2a+a) &O"grI  
I03B"[9 6  
　　=cos2acosa-sin2asina <(?]vj(  
d";:z<:  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !Q$&CCS  
ZY,JM4S  
　　=4cos³a-3cosa Rzd cx  
3EA,QK~@  
　　sin3a=3sina-4sin³a B da_  
M2H(qWC  
　　=4sina(3/4-sin²a) . BlL1  
j)tKIg r  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  W(,S@  
45?61pZ#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) JWrO>,.E`'  
)[2Y($* p#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) T'\4])Cu  
a#~- Nns  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] a]-;  
Gsv1 P _mA  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Dxw-c<  
(cpgd6j  
　　cos3a=4cos³a-3cosa gYFa p]  
p`|<YZ|~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }P #XdS:8  
/~oDwPaH  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QbZ>X"Mab  
hp]{|i-  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *.lh2O  
etM)"AV  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ,qZ] w  
c4}Mwo"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} dT%X)4  
]!8[lX?0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) anMm|Q,ZEn  
G?BDw7i  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .w[@"1bqa  
:f )G;B_f  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zyqO;{r  
l&bNiExom  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) GQv{4  
zQ w(_}T#B  
　　上述两式相比可得 vFyzZt9  
xQ@92dh@v  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ia:k%lF(KN  
4cCtje"^  
半角公式 8At:+#F  
SS<xD.!au  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _3sRV9q  
_H=+5U{:  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !Fy^\b8(  
}CqbtXu  
和差化积  |$\W  
`dd|C  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )[F/cE4zl  
@@>!;e-d  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4qZ[)1MG  
K@L^   
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f ##># *N  
n=GlUM PS  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xDe3}-xdC  
V[c{C8{  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) @>xJkt?z  
iM?OiI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) EcUDz2y  
2!0L0}Iv`  
积化和差 "|u4o(U  
uZt! p*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] %'pO1;tP,  
y;#IGMOF]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >'1 lO1M  
;\qpB`csu  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] uJ+s t  
4lCTDd|MD  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ":@Ig ot,  
+8cw0  
诱导公式 Srb;2(] iZ  
WTOXXb"G  
　　sin(-α) = -sinα ;0DjbH:(  
& { p9  
　　cos(-α) = cosα K qi%*W>  
S(#Y1W4gm  
　　sin(π/2-α) = cosα g:P9m2/Y  
>+|R"<1  
　　cos(π/2-α) = sinα `K#0 U'+  
Q!3L>:HY  
　　sin(π/2+α) = cosα |hv!:<\=!W  
=R]5oMA4  
　　cos(π/2+α) = -sinα {<My.MKL~  
f?fbD{  
　　sin(π-α) = sinα N<56UVF-2  
6q/ ">Y2#  
　　cos(π-α) = -cosα & [cYQ+>Z  
.& '@w'q*  
　　sin(π+α) = -sinα d0|qA,*,  
v}j(h  
　　cos(π+α) = -cosα I@n  
,[ra HS  
　　tanA= sinA/cosA u~K[[E2 z  
yRR\R7sE\\  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα zfV- E"-k  
'r4KPJcJ+  
　　tan（π/2－α）＝cotα UmL/Wf_  
,]q9-o'  
　　tan（π－α）＝－tanα 0W-?DhE  
1YA[YqBV  
　　tan（π＋α）＝tanα _DR1E\%G  
Z.{L}/  
万能公式 S&?oA yn  
Ou 7ER$H6  
　　 P$|KLlJ  
EAey `5*G  
其它公式 ^RyjocD#  
g4xm  ?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6W#@u"  
,!Z32N-]7w  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +Ry9k,)  
.]\^E;DG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 BA`{"I,  
If F;" fS  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 E>2)J!a  
[8O`/bP  
　　对于任意非直角三角形,总有 sq>qw  
EHnU+|hE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iI*keeZh  
eVowT]N  
　　证: Zr Z9~L  
Q8XK(Bft  
　　A+B=π-C +[ \;XT`  
O`[Fj [.D  
　　tan(A+B)=tan(π-C) \ ~D Q@  
bk'i&G\Sw  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -f`O-#+  
cY#s{ `H  
　　整理可得 ln.Cq$za  
tNlFD[K  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -^bk sTt  
e dN  
　　得证 }]x w4  
h2Er8n2<~^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @gDnR.@  
 9)7]VB  
其他非重点三角函数 :R>   
-P} sDB=  
　　csc(a) = 1/sin(a) 4Y "FFE  
!_d+j  
　　sec(a) = 1/cos(a) lyb@xU(  
9+~A&"j2  
　　 :9:Voy?$6  
NyR_2QGS  
双曲函数 X4Iq.OQ  
o,/9ed(`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 KRSZ-?k?  
e @B\K8"`h  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <"" E0b3C  
-D2"NT*N  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 1 9QoU7J  
,<xE  
　　公式一： 8M;U\Y  
"3.%Yp  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ^zK$x%Q0  
%\UQ*Lu2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα BA:V{1*7  
As5P Wqc  
　　cos（2kπ＋α）= cosα d xL. f  
J rR.ns\  
　　tan（kπ＋α）= tanα ^ }DZZt  
Nwv}Vz>  
　　cot（kπ＋α）= cotα Re7jwL5U  
.A A?  
　　公式二： ]u&lks} A  
dow[e 8 9  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]S+k^7"  
Q,Dg7tje,  
　　sin（π＋α）= -sinα KRo2B6-Z  
0]+X`{su  
　　cos（π＋α）= -cosα z]j:2W=#  
6*M[)@(m  
　　tan（π＋α）= tanα cc dj/wJ  
.*Rtb:c  
　　cot（π＋α）= cotα 6AH%7RB-h  
@KKPPS  
　　公式三： k  t-t>  
{YY4 ?5/  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;5'!\a{at  
.?1dAvmR  
　　sin（-α）= -sinα st,)t4F  
U/v8\jzPs  
　　cos（-α）= cosα /pGa H?  
s_w~_ZM  
　　tan（-α）= -tanα g"KHK>ur#  
-~9fqJN>b  
　　cot（-α）= -cotα uU\D  z?  
TmnOE ;;  
　　公式四： >*j87 VQ  
MthGgiH=0  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： kQ *v@TJ  
i~^?lv@|  
　　sin（π-α）= sinα  O/ o-Y  
[69H_?(7?  
　　cos（π-α）= -cosα eR4pwuGm  
cG&gi G{3  
　　tan（π-α）= -tanα cY}3yg n  
xt7BI32R  
　　cot（π-α）= -cotα $A3#Ii  
}@05?`/F  
　　公式五： R^cz9 ]  
HMW^v,MCj  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %?$G,FPz  
7B=P.|VpT  
　　sin（2π-α）= -sinα s}6m,9S  
k /kb ~t)  
　　cos（2π-α）= cosα g4B]9K3A  
bn'7p>VRk  
　　tan（2π-α）= -tanα s1]I<B# K  
I4ZyDu*)  
　　cot（2π-α）= -cotα c}$a"j:g  
VAN4{)-GfY  
　　公式六： 'cLd7t7K  
SB[k)jMOy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： (($Y&DhLN(  
.nZn2F'h  
　　sin（π/2+α）= cosα i{5<c3;  
q5I? u  
　　cos（π/2+α）= -sinα %\ir9 /iF  
04P Fg#.C  
　　tan（π/2+α）= -cotα LMUeT;;  
3P: aj`R  
　　cot（π/2+α）= -tanα >#l|9CN1t  
B"*BQVgf  
　　sin（π/2-α）= cosα i++oPoW_c  
FJ~F.  
　　cos（π/2-α）= sinα Y nI]s  
 X|vE)  
　　tan（π/2-α）= cotα tuN0e;4[  
u4 mL{  
　　cot（π/2-α）= tanα *xn-1 `=  
JV@;6~  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 9+97I:  
w% v[tac^Z  
　　cos（3π/2+α）= sinα 8(t7P[oX?  
//gU77Z)  
　　tan（3π/2+α）= -cotα /D++)|=  
~2N7K$<QEG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #*oi  
hSS,A=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8It}T;L  
7/ p [yI  
　　cos（3π/2-α）= -sinα =M<yAc  
UwI_l[#  
　　tan（3π/2-α）= cotα H]{sePh-  
Ike$(   
　　cot（3π/2-α）= tanα E'5{Jp  
.s_c=  
　　(以上k∈Z) gWjcPR/  
B1`<C#d  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &>qg ZZU  
J_7$<g  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zpl+M)n]E  
iT{c[<df?2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } zoq[aIk{m  
wVHk2-E  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16400) |  收藏