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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 t'p]5A~~  
f93--Gg  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7Z&Sn$i  
Rz&R c='ZL  
　　1、三角函数本质： f&9`8  
UdL>K_XT  
　　三角函数的本质来源于定义 ^;> b)=O  
%aG!,A3Y  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 BRL_aQ\Y  
[[\??f"  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #vz3C6  
|ABxg5AqQ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： yKPB Y )  
R7u[!E1  
　　推导： 9K]Kzqn  
S!s,\c{_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (i6 Z!"  
];"EUe  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) UDdR1G #h  
7i]=S<3  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7@wVZ(GS  
3wz:wjHk  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I.*4hC ~  
L=! HyqHG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） * K}u,Ao  
1+ZB su|G  
　　[1] -l_V7@=wgl  
A%MsOF  
　　两角和公式 l70r HmVG  
r-SL;w{~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ELw/t?oBu  
?&F9V;R?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  }@WWZv0  
(QU\&;B  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB )-Q` eZ"  
SP~a=  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB <z0b >8&  
R bm/JQ+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) q0$h'7%  
t]l"?uGm;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) k+yq$  
mKRP(~  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  tHR}1<^  
4<Z)^#f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) gqd_s{KF  
Ma$UZ3).  
倍角公式 Rt&|KKC  
RK2NFVg  
　　Sin2A=2SinA•CosA \$|^:7?qb  
m3(fI_}u6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 QKy0+-7  
"[=iCX`n(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  [ =>T  
WAts-]QF$K  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） jCT%z~   
|INcS F  
三倍角公式 ;Y/DNF[  
L370s7x8  
　　 I@D2L1Cm  
TnzqL?`8g  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |;B jwbRO  
ZoC}$%Ke|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) X}k~Rj9'  
Ld,tMK$PSA  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [ xBub"8I  
&AI$X~C[D  
三倍角公式推导 \0pafVIbo  
G"CSjnu(!  
　　sin3a J3y  
{~+%v %E  
　　=sin(2a+a) Q<|eiD4  
uAR%k*agY  
　　=sin2acosa+cos2asina ,8(I-N [  
fMopF{i  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina H*2}jp  
00;Sq%=/F:  
　　=3sina-4sin³a +GZ]iFR_  
i.l?xSQF,F  
　　cos3a QwP1L)  
Hy>& |!S  
　　=cos(2a+a) sBD.  7  
VK%; D_a~  
　　=cos2acosa-sin2asina 6Ff37q  
@'u>w9;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0:;3N6  
OrZ ^p%o  
　　=4cos³a-3cosa 5EWSq@ r~  
"~jvD?=7z0  
　　sin3a=3sina-4sin³a )x"q*@s(  
SV+_S  
　　=4sina(3/4-sin²a) D:|qc_TWu1  
[]"PuBb  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j%#jo@;  
Qxu)W8p  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 5q0 p?W)J  
6qaqC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m{Pdszly>v  
~=5lgl}!  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -a }<7  
t)w16eeG  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /h; w'4UC  
M_'?'!1Q  
　　cos3a=4cos³a-3cosa IVnd! PE  
u!jy]-Ox  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 6re@[w  
g]i`]UG  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )bu0&}r)  
B Ce.*O  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .eF]Y| f  
P1M &H  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 9;`hx }X  
O!s<m#2Yx  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} lAtFE  
8,s-#/  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) x};5':H^.j  
DO'JlG  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 61UT0 pT*  
iD#f]G^{U  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  0>{u;O  
>`vrr3  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) L$*6_ B'=!  
XV#Ez}iM<t  
　　上述两式相比可得 hr1yUy\  
}P] ak d  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) `Z mu" X  
}F D|UA+{  
半角公式 .r&E.]gx^{  
ZSZB6F<7.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); X7_NY 3a6  
cCS(>bcf3  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. glGUd"7  
\|z @ L(4  
和差化积 q\,njWh/  
?^_)0i;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PVd4IK  
vY{)f Dnu  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mPea)KQu`^  
E|jx Sv<  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =)bam 3  
GE@3DLr:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H0tkF(c.r  
:~<1#6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) JOSwA  
^O eGE!noo  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ` z]5]1~!6  
,k:*pR`>T  
积化和差 -YFWJ!-N  
0Bi_  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] {44rZ  
Cxa}$<U  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =>l!r'~ B  
C-2MpSp%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Oc8r13h  
$W fi[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %QX1Wc  
RW>RU36  
诱导公式 n4Taci]ekz  
l;P7z +  
　　sin(-α) = -sinα LBI9U`)S  
;\} .H2s  
　　cos(-α) = cosα d92RcmX  
Wq 1)VF[  
　　sin(π/2-α) = cosα #se0Ln!  
*i,'&R(  
　　cos(π/2-α) = sinα cRYj xq@  
hkQ+  
　　sin(π/2+α) = cosα i!+G=O  
1*SyE(,F  
　　cos(π/2+α) = -sinα L9:4UC/9$  
r_]c%ep<  
　　sin(π-α) = sinα }'aN'y  
_Eh "C  
　　cos(π-α) = -cosα !. on_g  
IB+gX"v  
　　sin(π+α) = -sinα .O<B)  
W;=g +=}  
　　cos(π+α) = -cosα ?.;dH  
bf bcu9  
　　tanA= sinA/cosA O cwa-L6  
$J!vG|JHz  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα k#.9uJB  
/M-XaG0 a  
　　tan（π/2－α）＝cotα wJWP`dH  
#FUmTn  
　　tan（π－α）＝－tanα i.0 )ae,  
?8?d0m0lh#  
　　tan（π＋α）＝tanα ?7c$&GF  
8?+**0A8R  
万能公式 M{p->_A+  
9v8hr&,sKM  
　　 ~J~TN.+b  
c$vL a&  
其它公式 gUjzD  
;k}Pb&   
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ( v{HC{S  
6G QO;gJ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 R,:BRf+  
c/s*cxSB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Fm(4m\Lv8  
 9BA\jv5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 VT^Y<  
43>N&dX  
　　对于任意非直角三角形,总有 .d,09Lf~{  
M.E _fq.?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  dR\J2'  
~ apLpR'f  
　　证: "CV9FS}E#  
^^Z[I(  
　　A+B=π-C q#_PI\}  
c|AOzT  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &cnh@9[4  
-i Y:0v {  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 9*7l$5<F  
\42 H ![  
　　整理可得 @QxF.ug&  
C'oxZK{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?bwy\?B  
t*{';Yk^  
　　得证 \t  L( 6>  
)lcG q BW  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }j6Y!J"<  
ghRJ)$q  
其他非重点三角函数 \F]JtG{  
<!y yw 6  
　　csc(a) = 1/sin(a) 1Ml~8- \n  
($ q'@>h  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9tLn^  
o bDU(x  
　　 x qBW;o  
fu2oPiz  
双曲函数 n&bO  
F1 "Mq KS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G)^ ghq#^  
s^*Mk -M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  4{n 2h  
7N<I}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) D^+m@FAb  
gj4]P5e`  
　　公式一： m SSAen-'  
~g1@ZR  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4yBvQbhP@  
!M=dmz4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 9p2xCY*  
'S8YX^  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7M qYo  
XaqPM;Q  
　　tan（kπ＋α）= tanα X}T',{$  
4sTuh_9O  
　　cot（kπ＋α）= cotα p^a2.Pu4px  
PB19ye|2  
　　公式二： `4}fl _  
q0EjMJe  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： WTD8fve\  
d-#k 4?m!A  
　　sin（π＋α）= -sinα G6ecWAd  
;ODr~UV  
　　cos（π＋α）= -cosα jYIa!{h2  
BT(O+0Rgcn  
　　tan（π＋α）= tanα b`\GYxgIIt  
` G8BNc!L/  
　　cot（π＋α）= cotα ?u{,VNpIl  
x7$>ZyLw2  
　　公式三： I<E `)Qg1-  
c$Pv4(n3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \samL}rQE  
=EwP>$B&  
　　sin（-α）= -sinα [39pB\ng  
jCb3qJ  
　　cos（-α）= cosα K)O`' xZ  
blKQ6W  
　　tan（-α）= -tanα ;R$.=q: 3+  
\% $(p@.w  
　　cot（-α）= -cotα xv{eM}ZAC  
H}CzL>GI  
　　公式四： e!;T>jn  
QLibM$'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： by53.`CB]  
tUTrpidb  
　　sin（π-α）= sinα `PGv6BG|  
CaaWNUsL  
　　cos（π-α）= -cosα +i `  
I=lg>_nW  
　　tan（π-α）= -tanα R :+--v_E  
% 0pqB6 c  
　　cot（π-α）= -cotα 8_g4{c\*  
Z74X=IRZ`  
　　公式五：  OI s6  
U'y'uevMD  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： FjiFZ}.t-  
O)}K!&U  
　　sin（2π-α）= -sinα &W!Aot  
|YR^b p\  
　　cos（2π-α）= cosα N/bgvUCy  
|A,HX9k  
　　tan（2π-α）= -tanα khIO:Yy&T  
)A B%Gl#  
　　cot（2π-α）= -cotα rGF&{  
]CKt,  
　　公式六： K'`;R*@  
bfUROpQ@A  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： T,PM@Ej  
\Nix1>OF  
　　sin（π/2+α）= cosα kjA~u)   
A8'waJ MO  
　　cos（π/2+α）= -sinα CU]-< 1o=  
#p!G d  
　　tan（π/2+α）= -cotα RZZi3DeZ S  
_f^JDWi!  
　　cot（π/2+α）= -tanα kA~C7P$  
s15bCl*  
　　sin（π/2-α）= cosα vu$3p4  
HA$ +^[.  
　　cos（π/2-α）= sinα * ?mU6b  
X-7-v+(V  
　　tan（π/2-α）= cotα i2~ aa$w  
h __  
　　cot（π/2-α）= tanα tW3Q=0tv  
+f<EV>zQM  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 755ZrNz.Z  
o{9~9E  
　　cos（3π/2+α）= sinα P(X}y  
Nd$Oc9cIV  
　　tan（3π/2+α）= -cotα RB?,7Y  
w"qI2dO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Ak quK Y  
fh1QL)>9q  
　　sin（3π/2-α）= -cosα N}2y,esr  
T7')-"] E  
　　cos（3π/2-α）= -sinα gU%2:gMj  
UO6}Q  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?0 zxmrhC  
i~f{wP/@Q`  
　　cot（3π/2-α）= tanα 5B ),q<  
Fudr  
　　(以上k∈Z) = \w%b  
+ ]BDX8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 _u-yGiy;  
bE/IVV   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]Ex NwM  
oA.@#rO  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )kCBEKylzj  
Ha)n1\^&9  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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