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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 LO 8VdM8D  
9seHM!yv  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. .n_LmK=  
83A!| R  
　　1、三角函数本质： .IywF0lps  
x7 Pf.\2^  
　　三角函数的本质来源于定义 zj6 ipb3  
 4'cRih  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4.n_2lE"\  
w*!v^!$  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +@\:A@VaU[  
g|~"\wk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J^]8~\LL  
nlg#]<=O  
　　推导： t]^%q>]jk  
}cJf?#  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 S:TS>EFX  
428bV`M !  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) U%$4Z  
T3^w{xQD}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) IXB{[h}T  
hr$~1<2~}d  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;+', ]x'C  
{ <s=&=  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） j"` ow7  
Eg>4K `97  
　　[1] . .9\/=aM  
.Gy_#w b  
　　两角和公式 4Yz,UY 8  
Ro ~XR 9>c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {URRU-Q  
#\lx>1N(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  DYLT_]f  
Luh^\yMu  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c$78f5  
e!I0hL0#  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &g^x=  
%FR#$vXKZ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) NxTk $oU  
8u 7G !  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *lY,Y #xU  
dh&Pn;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  t9+7P2g`U  
ta>I GH  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i1J&B   
!*Zd?~_uU  
倍角公式 f at[L%8  
w ;_i_b  
　　Sin2A=2SinA•CosA _Daw!egm  
W O"ub9oF  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 gt/5/r  
6Z&  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） =fX{xt`  
j]:)^"/i'  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ld0 S3MS\  
c/$[0L,-  
三倍角公式 Etz3&s[nN  
Z@Wd2XH5  
　　 TM'Jz  
Gv?!0gw30  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Xm_,h|  
kWSR gxe  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4 rTb)  
DpRAb[ \q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x8H;3@Q)8  
VU-gU`Ru  
三倍角公式推导 $@? _C  
Pma mqDY  
　　sin3a wPK1 &aE  
}HxZ,UE  
　　=sin(2a+a) yVfL@*  
H*I2A:DMg  
　　=sin2acosa+cos2asina EVkv5Ha,  
I4(X=(Q  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6DbGi?D  
+3Kv/H  
　　=3sina-4sin³a ?mpz@}av  
dfNuP\u1  
　　cos3a LiQr I8D =  
;#()XsU-  
　　=cos(2a+a) p l=koc.?  
j/J-_1  
　　=cos2acosa-sin2asina ?QVKJC''  
jLhcU1&  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  7']#|X  
</$?$4,&F9  
　　=4cos³a-3cosa nO0F 0"  
gCaGZFZ;  
　　sin3a=3sina-4sin³a +; )O{  
zImZ  
　　=4sina(3/4-sin²a) KX]_cj%t!  
K CK^~m  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] /giQP:]b  
Eu@v$Um  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |g  jHI  
%6Zl5*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) u`|=Ibi  
"dxJ!oq  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /3iFw&_~Z  
@)U6%MU <-  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7{Q`+a_y  
NfT[ ;BI:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa r_^cY>uw  
x YelGln  
　　=4cosa(cos²a-3/4) "a:O Q ^  
{=bNc@o  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Wu0DeX  
rmvIs,6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) s.V_9O7  
u.deWgFxAH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z'9;_x?  
D\jK6#a5E  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *:3h..q\  
L/iH.O  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _xT\|N  
StOsD?R  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] yx; xA D  
4i a#GA  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] m#3K$4bB  
,SF!aS  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @`AIG  
ZL8W3b,f  
　　上述两式相比可得  amk  
-R:$pTv  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]wzLKl? ~`  
,eZ@t4f  
半角公式 ZA;16dE m  
GK-Rt/1H  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #lk%l%WU  
HcF> VT*)  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. m C0HO0n"  
r,\~ I`h"}  
和差化积 *gL\)  
md=kjXM>1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3vU*Zk\N  
M<g /R52)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *,(g@2%_  
]"#d]VO_1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vHh5!BNl3  
k@/GI(*p<  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wT`.@=  
W >s5,  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) IAGLv/  
M[X$"IMt  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) im$`Fp  
{z,kdV  
积化和差 LvhB[8i>  
zsMa32p;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] FEj{4zf  
CgphN{r\  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,iP:k+X.+  
Gk_ c3Td  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] D0!UFR>  
n JA#Bd(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Y!k4n3D c  
o!,+b&:  
诱导公式 =[3h,+I(_  
'Ju[hX  
　　sin(-α) = -sinα ]-J>0wl$'  
|SBA,GL  
　　cos(-α) = cosα WMm&3@,  
Jc?tk)j  
　　sin(π/2-α) = cosα B5%)10)  
Dy)! x 8  
　　cos(π/2-α) = sinα |^L2,K;ME  
;JW|\{dO  
　　sin(π/2+α) = cosα v1<oocFaP  
xF.fvi 2  
　　cos(π/2+α) = -sinα xcYY%  
-2u#: %  
　　sin(π-α) = sinα QK8q#fBH  
Y8,mt:a  
　　cos(π-α) = -cosα *R}V.$<  
0RS6^%wh  
　　sin(π+α) = -sinα YqHp*@7u  
?<PZ ~ PX  
　　cos(π+α) = -cosα DZfUC  
6Og;C$?s/  
　　tanA= sinA/cosA UT_|r<9  
wj%N`S{!  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Ue[I.bD'p  
,"`'x$Xcw  
　　tan（π/2－α）＝cotα 3%>{^300  
()DMdR>!  
　　tan（π－α）＝－tanα 3QmP=B9  
SN{_(2,  
　　tan（π＋α）＝tanα  X{euY  
;7 F,G(  
万能公式 s)q M8+*j  
u@Vj7P>  
　　 uDS vV8mM  
f zH*i]@%W  
其它公式 v gV c'l~U  
om[LNRC0a  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 vm1.{.]  
s )h.0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 pG8YLg)  
Sv8)E+9x&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 u\0i*Pb  
t+M #  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2lHl}-#X  
&@ i HI/  
　　对于任意非直角三角形,总有 p@tJyg5N  
u4&/vL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Pn=zOY6F_  
jahC@  
　　证: 'TQH)r  
3 '7MzHd  
　　A+B=π-C Y9mvgY"U(  
Ncvf&q3%  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &Wj2:lHo  
~:<  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) A@M: O E  
ThSl<ON+X:  
　　整理可得 oQDh)+s~.  
Lu~)?Z(>V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 45L(jXyi[  
*!T]z!|B  
　　得证 X[R^H9Ad  
ZBA{ g  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Fv<kZC|  
^3|,qCI  
其他非重点三角函数 Tvc?Z/Cz&  
zc>Ry  
　　csc(a) = 1/sin(a) 5w5@#GCY##  
2,qj  
　　sec(a) = 1/cos(a) J+!?&L<\  
} sI|!  
　　 LPQ._baX  
/mb!S  
双曲函数 =Gh"gH<v  
\GZAn-b  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -<T+)M]Gq  
Bkr0=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %(Wo/:  
KHXSNFi  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) TL%&tm  
kkxV H~p%  
　　公式一： ey>P`*OS  
-c^9-C9C6  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： D$"q8'*  
3`R$O"]:O  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |HI l?$`3/  
oc@/q#wl  
　　cos（2kπ＋α）= cosα fO;e}>tX[]  
@-?CfTQ%  
　　tan（kπ＋α）= tanα Z7ObFGXY  
g:Drt8qj  
　　cot（kπ＋α）= cotα {X>s#|/^6  
R@~z4&a:  
　　公式二： " q2?GH  
iVs6 zr  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： '50:3w  
0y;43?f&  
　　sin（π＋α）= -sinα Y&zrxaPQJ_  
WIB|l3X  
　　cos（π＋α）= -cosα h >_pJ'j}  
+&sN. A>9  
　　tan（π＋α）= tanα ?M`U.40w  
(8H=4^  
　　cot（π＋α）= cotα Pa:pe[7G  
T8B &=_Yu  
　　公式三： /]c1~cWR  
AqE_ SiW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： V{xXqw8T  
/AVT?K hQ  
　　sin（-α）= -sinα GcNl \`;  
Ii9s$#1$  
　　cos（-α）= cosα `@uGi3  
(gE$<s4  
　　tan（-α）= -tanα _%pZ5"Bu  
!U!(OK5ZGf  
　　cot（-α）= -cotα  h7u%5L]  
vq(t2tS   
　　公式四： n2D4 js  
,|T_6mA  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -7d% ; C  
E3Il@O?  
　　sin（π-α）= sinα {7=at HT  
CZVQnS  
　　cos（π-α）= -cosα ^?911M  
W2edTqS5   
　　tan（π-α）= -tanα HEVVk?E`M+  
%}u@G0  
　　cot（π-α）= -cotα J!`B6C])6l  
<]/1#xuP  
　　公式五： N^N#6[ l  
I_3|@\i  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 2@B[rJ>,>  
+PW1snAxA  
　　sin（2π-α）= -sinα UcGYWw  
<QWwbD[8  
　　cos（2π-α）= cosα Srk@2u+  
*c:P8 ^h  
　　tan（2π-α）= -tanα PX_ .&&l  
oe( )#Nzh  
　　cot（2π-α）= -cotα QK1ZEIKR  
k,vtvd  
　　公式六： ?h)8_2rN  
N[b SN9>Y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Lm[0kuN"i  
$"^PUH MM  
　　sin（π/2+α）= cosα 2j.GjY-  
h cl <H  
　　cos（π/2+α）= -sinα ZX $?T=v  
l F{*STIE  
　　tan（π/2+α）= -cotα [bb'J/9e@  
VZV]W&6^#  
　　cot（π/2+α）= -tanα b0H[){iO  
X E}  
　　sin（π/2-α）= cosα >1\]O%pM  
k.=% qY  
　　cos（π/2-α）= sinα 1?&mWf  
Vk>.4WH6f  
　　tan（π/2-α）= cotα b}yY$"=L  
fdbWK9t  
　　cot（π/2-α）= tanα 1-he*R%R  
Etd E$-hl  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1k UYq3(`  
 e|vN+  
　　cos（3π/2+α）= sinα e1HY!nKr@  
)|+&Y *@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα o{E\X8\  
N5lR!O D  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |8uH&=ttL  
^wQu8i%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ^gTZYgx1l  
w6_$63A&Z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *$7v+KT.<  
dW,~(*  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]hbwk[i+ '  
2Z{r]Y\iw  
　　cot（3π/2-α）= tanα ?0r9GvsC  
$Ee2[R  
　　(以上k∈Z) EBVD1lp  
&)p;&p3F  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 "Er=AEF-  
sjdU9)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $v1v+b&vz  
@sqhSJ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } b0vE+Rb{  
$j[?I}cH#q  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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