三角函数内容规律 ln;_n#
-p9>'
[O
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T(`y^*\ a
1H{Zt]C<
1、三角函数本质: ZEZ<hSQ
U%yzdV" H
三角函数的本质来源于定义 $pZU@SoA
QyjWLkUmiX
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }$'z$0(B
],n.&Tr
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 z8 V%
[F`OS'F
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: b8]4u@
6
{rl
$'q^
推导: p@.*aN
>6
tWQ/_T
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ?.K"m!
|il7/r*=
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) N4
0qh`
5MnEtPDd+
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) cM_9h:
1tq :dCm
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 s2m8wH
Y_(/lweo]
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) f!M,>u?
^9!N^vC
[1] >JCJi+.o
5cWTN
两角和公式 lOA5V=1En
>j^.vi"
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB shKWm.
SRfi08
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB T% o;c'
=0y@Yn-YX
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB pIunZZm
T%b|;^
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB B t||
PcJ!A&4
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) MMdir1u[
P lnCWI&Z
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WH
~v;B68
D@dq1yz0
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) w4g-Q3|
!l]9C_2
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,6`32c|
#r;
XgtQ
倍角公式 ~PT* 4{v
[al=
Sin2A=2SinA•CosA :sZ(akY
FYofc
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8Bw s_\
ZLFs%?
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) =?`y
SR\VQ-s,
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) _7w#;Y$?
R.W7S;0l}
三倍角公式 HJ<<{h~ ?%
0HRpg)?cJ
&@y'd|Jz
7q kfE=V
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Nr0WkEA
lF<ZYO^9
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,vP+aLi~d
J$,C>Lz
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) w&Kuf
c=U#]x vP
三倍角公式推导 u~7Uq3
,[ R,.]-
sin3a d0r{sJ78
g+A'/G
=sin(2a+a) ?vIa<nMRo
lSAoLD
U
=sin2acosa+cos2asina :UR]3DC
}3oqtI\
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /zqJA_
+
IY(t&
=3sina-4sin³a { 2k
9qnex9Px
cos3a *1>fw<
sToi Aun?
=cos(2a+a) &O"grI
I03B"[96
=cos2acosa-sin2asina <(?]vj(
d";:z<:
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !Q$&CCS
ZY,JM4S
=4cos³a-3cosa Rzd
cx
3EA,QK~@
sin3a=3sina-4sin³a B da_
M2H(qWC
=4sina(3/4-sin²a) .BlL1
j)tKIg r
=4sina[(√3/2)²-sin²a] W(,S@
45?61pZ#
=4sina(sin²60°-sin²a) JWrO>,.E`'
)[2Y($*
p#
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) T'\4])Cu
a#~-
Nns
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] a]-;
Gsv1P_mA
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Dxw-c<
(cpgd6j
cos3a=4cos³a-3cosa gYFa p]
p`|<YZ|~
=4cosa(cos²a-3/4) }P #XdS:8
/~oDwPaH
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QbZ>X"Mab
hp]{|i-
=4cosa(cos²a-cos²30°) *.lh2O
etM)"AV
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ,qZ]w
c4}Mwo"
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} dT%X)4
]!8[lX?0
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) anMm|Q,ZEn
G?BDw7i
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] .w[@"1bqa
:f )G;B_f
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zyqO;{r
l&bNiExom
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) GQv{4
zQw(_}T#B
上述两式相比可得 vFyzZt9
xQ@92dh@v
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ia:k%lF(KN
4cCtje"^
半角公式 8At :+#F
SS<xD.!au
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _3sRV9q
_H=+5U{:
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !Fy^\b8(
}CqbtXu
和差化积
|$\W
`dd|C
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )[F/cE4zl
@@>!;e-d
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4qZ[)1MG
K@L^
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f##>#*N
n=GlUM
PS
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xDe3}-xdC
V[c{C8{
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) @>xJkt?z
iM ?OiI
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) EcUDz2y
2!0L0}Iv`
积化和差 "|u4o(U
uZt!
p*
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] %'pO1;tP,
y;#IGMOF]
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >'1
lO1M
;\qpB`csu
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] uJ+st
4lCTDd|MD
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ":@Igot,
+8cw0
诱导公式 Srb;2(]
iZ
WTOXXb"G
sin(-α) = -sinα ;0DjbH:(
& { p9
cos(-α) = cosα Kqi%*W>
S(#Y1W4gm
sin(π/2-α) = cosα g:P9m2/Y
>+|R"<1
cos(π/2-α) = sinα `K#0 U'+
Q!3L>:HY
sin(π/2+α) = cosα |hv!:<\=!W
=R]5oMA4
cos(π/2+α) = -sinα {<My.MKL~
f?fbD{
sin(π-α) = sinα N<56UVF-2
6q / ">Y2#
cos(π-α) = -cosα & [cYQ+>Z
.& '@w'q*
sin(π+α) = -sinα d0|qA,*,
v}j(h
cos(π+α) = -cosα I@n
,[ra
HS
tanA= sinA/cosA u~K[[E2
z
yRR\R7sE\\
tan(π/2+α)=-cotα zfV-
E"-k
'r4KPJcJ+
tan(π/2-α)=cotα UmL/Wf_
,]q9-o'
tan(π-α)=-tanα 0W-? DhE
1YA[YqBV
tan(π+α)=tanα _DR1E\%G
Z.{L}/
万能公式 S&?oA
yn
Ou 7ER$H6
P$|KLlJ
EAey`5*G
其它公式 ^RyjocD#
g4xm
?
(sinα)^2+(cosα)^2=1 6W#@u "
,!Z32N-]7w
1+(tanα)^2=(secα)^2 +Ry9k,)
.]\^E;DG
1+(cotα)^2=(cscα)^2 BA`{"I,
If F;"fS
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 E>2)J!a
[8O`/bP
对于任意非直角三角形,总有 sq>qw
EHnU+|hE
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iI*keeZh
eVowT]N
证: Zr
Z9~L
Q8XK(Bft
A+B=π-C +[ \;XT`
O`[Fj
[.D
tan(A+B)=tan(π-C) \
~D Q@
bk'i&G\Sw
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -f`O-#+
cY#s{
`H
整理可得 ln.Cq$za
tNlFD[K
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -^bk sTt
e dN
得证 }]xw4
h2Er8n2<~^
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @gDnR.@
9)7]VB
其他非重点三角函数 :R>
-P} sDB=
csc(a) = 1/sin(a) 4Y "FFE
!_d+j
sec(a) = 1/cos(a) lyb@xU(
9+~A&"j2
:9:Voy?$6
NyR_2QGS
双曲函数 X4Iq.OQ
o,/9ed(`
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 KRSZ-?k?
e@B\K8"`h
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <""E0b3C
-D2"NT*N
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 1 9Q oU7J
,<xE
公式一: 8M;U\Y
"3.%Yp
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ^zK$x%Q0
%\UQ*Lu2
sin(2kπ+α)= sinα BA:V{1*7
As5P
Wqc
cos(2kπ+α)= cosα dxL.
f
J
rR.ns\
tan(kπ+α)= tanα ^ }DZZt
Nwv}Vz>
cot(kπ+α)= cotα Re7jwL5U
.AA?
公式二: ]u&lks}
A
dow[e8 9
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ]S+k^7"
Q,Dg7tje,
sin(π+α)= -sinα KRo2B6-Z
0]+X`{su
cos(π+α)= -cosα z]j:2W=#
6*M[)@(m
tan(π+α)= tanα cc dj/ wJ
.*Rtb:c
cot(π+α)= cotα 6AH%7RB-h
@KKPPS
公式三: k
t-t>
{YY4 ?5/
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ;5'!\a{at
.?1dAvmR
sin(-α)= -sinα st,)t4F
U/v8\jzPs
cos(-α)= cosα /pGa
H?
s_w~_ZM
tan(-α)= -tanα g"KHK>ur#
-~9fqJN>b
cot(-α)= -cotα uU\D
z?
TmnOE ;;
公式四: >*j87
VQ
MthGgiH=0
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: kQ
*v@TJ
i~^?lv@|
sin(π-α)= sinα
O/o-Y
[69H_?(7?
cos(π-α)= -cosα eR4pwuGm
cG&gi G{3
tan(π-α)= -tanα cY}3yg n
xt7BI32R
cot(π-α)= -cotα $A3#Ii
}@05?`/F
公式五: R^cz9 ]
HMW^v,MCj
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: %?$G,FPz
7B=P.|VpT
sin(2π-α)= -sinα s}6m,9S
k
/kb ~t)
cos(2π-α)= cosα g4B]9K3A
bn'7p>VRk
tan(2π-α)= -tanα s1]I<B# K
I4ZyDu*)
cot(2π-α)= -cotα c}$a"j:g
VAN4{)-GfY
公式六: 'cLd7t7K
SB[k)jMOy
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: (($Y&DhLN(
.nZn2F'h
sin(π/2+α)= cosα i{ 5<c3;
q5I?
u
cos(π/2+α)= -sinα %\ir9
/iF
04P Fg#.C
tan(π/2+α)= -cotα LMUeT;;
3P: aj`R
cot(π/2+α)= -tanα >#l|9CN1t
B"*BQVgf
sin(π/2-α)= cosα i++oPoW_c
FJ~F.
cos(π/2-α)= sinα Y
nI]s
X|vE)
tan(π/2-α)= cotα tuN0e;4[
u4mL{
cot(π/2-α)= tanα *xn-1 `=
JV@ ;6~
sin(3π/2+α)= -cosα 9+97I:
w%
v[tac^Z
cos(3π/2+α)= sinα 8(t7P[oX?
//gU77Z)
tan(3π/2+α)= -cotα /D++)|=
~2N7K$<QEG
cot(3π/2+α)= -tanα #*oi
hSS,A=
sin(3π/2-α)= -cosα 8It}T;L
7/p [yI
cos(3π/2-α)= -sinα =M<yAc
UwI_l[#
tan(3π/2-α)= cotα H]{sePh-
Ike$(
cot(3π/2-α)= tanα E'5{Jp
.s_ c=
(以上k∈Z)
gWjcPR/
B1`<C#d
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &>qgZZU
J_7$<g
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zpl+M)n]E
iT{c[<df?2
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } zoq[aIk{m
wVHk2-E
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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