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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 K8NromnGB&  
I&-y$/AL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _j^K*V  
CfdaC$h$  
　　1、三角函数本质： {v-4U T5  
ng O/]R  
　　三角函数的本质来源于定义 f(u-TY m  
;nZKKjh  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3$jam*9!7  
~z>\cNueGW  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $5g-(~"t  
uU2EuS"eW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： tgw]>zJn  
{W*CP|At  
　　推导： Er@[5^y  
T/1ic4i  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Q 2PYOD|as  
NJ] s j2m  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) $07jB wo  
g/`6<{V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) hG/(0.:P#y  
>"U1 k5MV  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p<bAd ifWP  
gJK13;%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [%'9H *  
7@ SPaJ8  
　　[1] ^Pp6&3z  
BKrA{KW  
　　两角和公式 A- (d49  
'T0L Ob  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB m a(`H"  
L<{.YkUNE  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Q"((/x  
 o%*\Dt[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB i.#qUQ"  
#Y@]_M- x  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB klj{9iE  
31HB2TV 0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 4h)7:K  
%'kyiN2  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @koN.[ixd  
Ct/'zd`3  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  s?<h0 c+~L  
G(]p[aa{  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7;\xcXFBv  
w(%;]RmU5  
倍角公式 /N]0 CLer;  
N$o8(V  
　　Sin2A=2SinA•CosA dD&uJ Uo  
myTzr Q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~3`vy,=dLO  
q0"VC\f1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >BukL$jOP  
To{K;' 1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \sBL.eDQq  
p\%$ZlF2{  
三倍角公式 v<^bA Gg  
/>~mJlxl  
　　 # wr"/ldr  
}o|55U  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 8q kST9+  
Us4%U4\0J  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) R\Ui6iqo  
>X//\ouf  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) dMbKc8##*  
flt0aaChs  
三倍角公式推导 2eCK:[0  
 qzpx?BB  
　　sin3a KC9,u}/T  
C ybk_Vi5  
　　=sin(2a+a) "[Hz79>Z  
G3CWNc&YE  
　　=sin2acosa+cos2asina Cf/>)JR  
9 8$>>j  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina K$f#K#$nj  
:ix~   
　　=3sina-4sin³a bf0x 4G2{  
AMzTkdl9Q  
　　cos3a 6m/Hu!&CT\  
.sM^i[  
　　=cos(2a+a) eG*@LW?E  
}EIzN=hU  
　　=cos2acosa-sin2asina sh)6*b:t  
xkO'y00.l  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa bb vx]}ed9  
M@&Wt~  
　　=4cos³a-3cosa ZCa=5[8]  
f4SNcaFXi  
　　sin3a=3sina-4sin³a *R0,a |G  
5ht& B5[  
　　=4sina(3/4-sin²a) g#)"+m+wC  
+>zrug^HQ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] zO~-5~qt  
8F !Zt}ZV  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ?.?f,YI6  
2ht6d!0IGS  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) v[3 4qW  
RLx (5   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] yxBP1U-pY4  
Yuv+uj Et  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) "'Npl~7  
mX)#w4zrf  
　　cos3a=4cos³a-3cosa OPTGk%< B  
*MR PjH  
　　=4cosa(cos²a-3/4) a?z0mPoe  
n'.9Ml9EA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] mDZeQ(*lH  
!{SISHB]E  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) kp(}.1n<'  
l6Y0=`CW  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) -7'YV6%  
Of(?M3cx{  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V ) Z(  
S4A{jW#  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Z~+?N<n {<  
mk(Tx;BE  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] WS$x<b/)?q  
\M-{s$n!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ZcE|!B  
>yIcuXy1;  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) f9U=*WQ@  
;l 9TEwRp  
　　上述两式相比可得 yxp F0'f<  
n#le}m4b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \`hYkyb0  
L3f#RT  
半角公式 K&f1e]5\]  
tP Oo o6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Oc.WC|  
SnR\p  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N2|RdJ0?  
@B:D/mg  
和差化积 /<] w .  
+3Z$ld[!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] O z"Epq  
x?u:^Q\P  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5~&>jQ[Q  
!\a3&0/Mm  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9`CKz^P8  
D%*(z]3+  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TR{ %ZI=\  
;1nbM3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <?A= 4n,w  
3o=nJ^E[X  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) e4?1 v,  
Y'_j!f';6W  
积化和差 a1CT2$w  
3=h3i  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .5sbkNB72-  
[RhX9z1j<  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] AvZXZ13  
4z>y ^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] b7rEa(DY  
RvwW nB$T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] UTiFwLm=  
2Dvq=UBq  
诱导公式 Bx;By,d5  
+,j%2e  
　　sin(-α) = -sinα jKmrZ $sL  
&{{,Vy  
　　cos(-α) = cosα Gp y!w4s  
\x?r,q;9  
　　sin(π/2-α) = cosα u T#*="d(  
:G{SmYYn  
　　cos(π/2-α) = sinα %rUe;~&0  
2qIu}aC  
　　sin(π/2+α) = cosα `tA+O*4'  
q]Se = Y\  
　　cos(π/2+α) = -sinα $cd]gJxq  
)tv?>q^  
　　sin(π-α) = sinα KOE+u'GZ  
+x39pi  
　　cos(π-α) = -cosα +if|4XU  
)' A^.?  
　　sin(π+α) = -sinα jkL5d$_c  
'SwEPi{i~  
　　cos(π+α) = -cosα Y?QR=&  
.e/-b/  
　　tanA= sinA/cosA zmQeV'|#  
wTmFmD?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R).4 A$  
A+!'I  
　　tan（π/2－α）＝cotα EhCc <yQ!+  
.~Bgy1gX  
　　tan（π－α）＝－tanα C89_\0s  
wakE6T~/;s  
　　tan（π＋α）＝tanα cgU8cJi@  
"b-8t =P0  
万能公式 qz${h$  
|$=~H!PNu  
　　 W,mCX  
Sa_i%;MIB  
其它公式 RpiKnQ*y  
dU2iKTx-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 O{ye>fD  
J}H_ 0n}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 e `6V  
rO>e7?I  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 #$@bIZ#6  
5R>+  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 /Rm|P#  
B&)SuO)Xm  
　　对于任意非直角三角形,总有 )( Wq0F  
a738?f9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V/F4[*  
~)A`&"|FK  
　　证: ;mE@yHT  
 )Jqc>RA  
　　A+B=π-C p=~8=ar  
yteHnz`  
　　tan(A+B)=tan(π-C) d7^LBl T  
]KRGL4{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "x|V6w!8  
+"H'97T}Z  
　　整理可得 ^wd$PfXXv  
p\4)G [~`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC c}@S#P&_C  
^EZI x  
　　得证 Mwac$w`  
;r#;%<M|F  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8+\J.(X6#  
ryOoojf|&M  
其他非重点三角函数 }D3^Lu  
L:o~<hEZ  
　　csc(a) = 1/sin(a) 9u1ID*l (  
Q7$-<#} p  
　　sec(a) = 1/cos(a) Pog.-i)n  
?$r,~3v  
　　 ;skR$_{r  
Wv $=  
双曲函数 <'nMq\  
,FI   
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 v BuF"Z  
34`YexdN7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 3'H YPHX  
t*|u rji  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) iq !:9j5  
B29Dy:2x  
　　公式一： \.M2 4%T#  
5KR8|:Jn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： =Q|g's|T!  
'4DWwB  
　　sin（2kπ＋α）= sinα mK>} o)q1  
RIDmAG/94  
　　cos（2kπ＋α）= cosα T&v3]M`  
w37ctE!$[  
　　tan（kπ＋α）= tanα ldx5 b  
2=Z@6^  
　　cot（kπ＋α）= cotα }pwTo9!v^  
Y6J=Sv8p)  
　　公式二： ? 'VwV v  
J]pPY#<Q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： bF]M!  
#%CJ>ddM  
　　sin（π＋α）= -sinα Cvy!kl[,)  
8z`sbJ  
　　cos（π＋α）= -cosα u0^PC(K 9  
s5_ddwFM  
　　tan（π＋α）= tanα /(>dT+#  
\O N;Ca  
　　cot（π＋α）= cotα qrYnfa*<  
t!_k~&  
　　公式三： M[ tW*xA<  
f<OXV9#FB  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 0",r@RW'6  
wS(HXX&}!b  
　　sin（-α）= -sinα hZ'UZrsN  
%R U9_  
　　cos（-α）= cosα o'/8oc!  
'mbmh  
　　tan（-α）= -tanα EG\qnP>rgS  
99Bx&IA  
　　cot（-α）= -cotα [,5\$r.D  
_-&h a|5  
　　公式四： NF^=H # |  
otH on"[y  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Gru8iN (@  
[N+nI::  
　　sin（π-α）= sinα tG~&TzN%  
-4SAHS5  
　　cos（π-α）= -cosα ;U_J#GyW  
xN#=f/@v  
　　tan（π-α）= -tanα D-JoG Ac0E  
\0zn*_^v  
　　cot（π-α）= -cotα goD` ZW\>  
i0[ZiGl  
　　公式五： 0I^K<>V  
;Y%}oyxT&  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： +*3M~NLs<  
0eS(6m  
　　sin（2π-α）= -sinα >Vr.;Hy<  
.nE9/&BR  
　　cos（2π-α）= cosα 09%Tr.r7_  
=.^?:n#6~W  
　　tan（2π-α）= -tanα 4j.NO e  
NI1/-9b  
　　cot（2π-α）= -cotα i' pQ_AROB  
} -5MMj  
　　公式六： Ge'0i"|  
5s WM[#\zo  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f]_C\EtM@  
\Gz'0RQ-  
　　sin（π/2+α）= cosα 4<R'L7lT  
/I18;F*+<  
　　cos（π/2+α）= -sinα $WM@-  
<`>)I  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4Qc;'eBNi  
/l4:n y8`e  
　　cot（π/2+α）= -tanα iwM\-)  
sd6Qs73  
　　sin（π/2-α）= cosα 5L}'vK`  
}[{^ c   
　　cos（π/2-α）= sinα b*lx   
o'v=>fT )  
　　tan（π/2-α）= cotα 9_Ny:e ,  
;$\yRk   
　　cot（π/2-α）= tanα x3\(|!h  
cd&r%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα +][a_!K{  
VBD(v8 p   
　　cos（3π/2+α）= sinα ~g,:(ya  
q5BhwS  
　　tan（3π/2+α）= -cotα TQ)kMR  
&d&l .\  
　　cot（3π/2+α）= -tanα EUuH8Rc  
oQ.\FcUu  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  wCJBn!@  
Q<oxQ!4s  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :)FlY62l  
(oJEo$6^}f  
　　tan（3π/2-α）= cotα jm=73?LA  
I{Ugk v  
　　cot（3π/2-α）= tanα 3MKEKF~;3h  
tV|X%+4x  
　　(以上k∈Z) Mx~Y+*S:  
dn9x^xB@!  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 nja2eJ;Oi  
+5oG"9{\mW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ;Lp3QmW V  
|oep`S<S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } >C?6.Zb  
a HP"cq x  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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