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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 2J^'5Da  
s] ZrAk  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S~ &>V;u  
T%3rZte)\  
　　1、三角函数本质： <_7[o$ry  
TKiY  
　　三角函数的本质来源于定义 +qq ic.2  
CAL;xx  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 = toP|`zK  
IBBxN*;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 %U?<!YlF  
$? fr \  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： S9j_j%&S  
;J,j/%qv  
　　推导： e Ks?eH6vv  
l\^ 9q@  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 0%#M> Pg  
(x;+:l  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O|K)i_DAH  
N?ck  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HNc"A776!  
eQK2hp?  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W&7h`\T  
0Nb@zLvI  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） um_/R=X`z;  
b )J X  
　　[1] rW>_vI*tj[  
gij>hS8{  
　　两角和公式 9IEUZ+"h^  
\<mUFCDRPR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D'04@> '  
v#`">{k!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  t6 fT!|uN  
{Y`eg|V  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Z*&|?  
E)@xSa832d  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vlK*&- ?a  
.{NkJ5 MZ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) N1J b7L  
KeC;0KJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) r)O,fk  
CjQmp+0{w  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Rva+nUnr?f  
rD XB~&L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %@(5 b^   
cL{%ni  
倍角公式 -Im3)#Wz]  
}^I,d~*  
　　Sin2A=2SinA•CosA k)i,@RCk  
sp|I:dL  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Xt%(~0  
8m ?l@)  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ' ! Pv b_  
5Z-Uc.y4  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 5VV5 ?lC  
xLS ,w}-  
三倍角公式 $]X?`}$  
PcTdl*VZSS  
　　 TAP}9e  
D!Yg|X*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) blNur:X{  
YW(DQ2[  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {WxwOb/+T  
-xoIc^q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |<`VI wL  
+aj43 MS  
三倍角公式推导 bz(uqydoR  
hs fabRqR  
　　sin3a -BLuiqn9-  
ycpR$Tj6J  
　　=sin(2a+a) Pd~ 3}}&  
.bY"WB?5  
　　=sin2acosa+cos2asina l h_ u/N  
Mkg9ysgy  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Z*?~~Mm1?  
*GDE'w?]  
　　=3sina-4sin³a wY/BQjx,m  
GHBCO[&$  
　　cos3a IlFa+M:q  
JB[XPS-  
　　=cos(2a+a) 8]]oQ= s  
P a;m.Q@#M  
　　=cos2acosa-sin2asina 1tII>MB  
Fav8."(_&  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa h*?P<\  
q)KcgzC  
　　=4cos³a-3cosa c1cas;y  
/u<vl0lZ9  
　　sin3a=3sina-4sin³a EUa 3 E  
5JfhDmIY`  
　　=4sina(3/4-sin²a) lN]f8\ PP  
PCIu-M,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] AEP\wr*8r  
I)|nNU6(  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) OxLl=2uX%  
%r6~eBT  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) "8D5GZ4r  
PKm"3:k</  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ! rRjZC  
(5_ %D  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?^f+ g#  
Dl-0Ilq  
　　cos3a=4cos³a-3cosa xD~r!0  
gx>0TNQfK  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 6?EyevXiv  
uE%aLAz--  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] A PC.hv  
n^YiL1q>:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pC AS5zPW^  
(TBqm=qb  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) D_WU<@K22  
rSR;T &  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *Q\ ,aX  
5?1wG"[  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `( _>gy  
{?\hrpB  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \N-[wt&(C  
@]]iK$Mx$  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [Kw-.;P'  
ntMAB#D  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `}BE*K1#  
?PKc`kQ.{  
　　上述两式相比可得 `` N 2OPX  
;{r[W1W'  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) dm3Y*6@&  
 ^t5{N  
半角公式 V""R#"ab  
[u4H dOs  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >Yq|k *  
h?(BL*d  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6x'M5kgHz  
=ZWFWVW'M  
和差化积 :, `{MN  
(%A8 NU  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U.g.g  
O (kDgSc  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;OrCOO  
`!Q2:wI,F  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UkN-1IwQP  
CA]:.%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] PFn:`dEH  
|XqGf2 &  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Qca^dnVp  
f YNJs?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }VYh%r  
SDaF8 m  
积化和差 |u&d0Y sN  
QL}2h  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] j[^! hEez  
{5 !hY^t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] lj5g>V  
&j~*dW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] OHnxg  
3"k@c;gJ'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] t;}yE c  
B,5n"}l  
诱导公式 Y`fwPN-o  
%p]FaM<E8v  
　　sin(-α) = -sinα A{,}^=T  
zYy}a[F  
　　cos(-α) = cosα *Kl_e!On>  
]3N ;Y#  
　　sin(π/2-α) = cosα  lAtr 9"  
{^|~;'z  
　　cos(π/2-α) = sinα i.j@ -8S  
F;+ld|_  
　　sin(π/2+α) = cosα lb|x<x  
\;%>8G34  
　　cos(π/2+α) = -sinα ))l_DD8_  
bSc[5m  
　　sin(π-α) = sinα kC"piR-O  
L8X:n P)W  
　　cos(π-α) = -cosα 6v5H*_9  
E62:Hs  
　　sin(π+α) = -sinα FEEEJQal  
f,$'TfN)s  
　　cos(π+α) = -cosα KAWaOT=  
L3w|T wug  
　　tanA= sinA/cosA ?S75p'  
M&pv.  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα D\W/yL  
5hKR: q  
　　tan（π/2－α）＝cotα -a,g5  
^+pb6Y#&  
　　tan（π－α）＝－tanα EW3#MNH  
Wryb$[3v   
　　tan（π＋α）＝tanα nAe}XRB  
2*>a2f  
万能公式 KU ;*y{  
'$>'}]r Y  
　　 U)y(-FC5Y  
e[ &%'  
其它公式 xT 3pv+9  
fHE hXv?;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 #`2S:)!y  
b'Pb;mK  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 hT6r ;A>  
T}S&]]5GV  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 lr[LN7a  
M\%.$K$ X  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;7]Dg-V&F  
1X}K;gk$[  
　　对于任意非直角三角形,总有 s]'Mx@QB`  
[D&7&~N1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC PZ=eGm!x  
Ba`t/CN$  
　　证: T`;Fys9TE[  
Hg>:=H*  
　　A+B=π-C -o'D _i[a  
MKTmT(1  
　　tan(A+B)=tan(π-C) nU,)dh3G  
;x'd`4*:E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .m8+|.  
m9>g^=et7  
　　整理可得 ke4~a  
+(KPE@MU~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D7`rI+  
m1%#F<$b  
　　得证 AB/(!_|Kf  
6%$&J{#  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~N)R6g|Z  
Ti^R)wFpv&  
其他非重点三角函数 e I~XE8 i  
rGjD*Iy@  
　　csc(a) = 1/sin(a) lL4 <F"1  
^9GOT 8xE  
　　sec(a) = 1/cos(a) DkB}%)$@I  
A@P?|5gmZj  
　　 8?Q+XXT(  
7092^Z`#)  
双曲函数 \. Jet_f  
-}zSqQ9G  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 CiQHsVP<e  
Q6#L~Sez{  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :g{mI<( 8  
*J2t daR;O  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) g.?B(>  
w:; v R  
　　公式一： _v"\CtK  
V*ws/S[^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： hPeFi}bm}  
)E5~PH_d  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2Jg[4?o](  
,ei08[[jf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα rSvT^2 3  
Iz"m=$BQ?  
　　tan（kπ＋α）= tanα v}LWH6* 8  
icwwq'Qo  
　　cot（kπ＋α）= cotα FF!VJA1X  
wL\nhW>  
　　公式二： s1wz*U|}['  
[jH(aI   
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： S:M)c"Q C  
tG:^J,-{L  
　　sin（π＋α）= -sinα LW X< z  
[h ra@i  
　　cos（π＋α）= -cosα l@-rtD  
D7Ok/4V*  
　　tan（π＋α）= tanα uH*rN I  
2x>hsyRI  
　　cot（π＋α）= cotα D~)_=P*5rD  
qp2w|J.b  
　　公式三： VW80o7nM  
3g{tuP  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： de|v?y;  
$Qu/#Yq:6  
　　sin（-α）= -sinα _lB[cu"<  
*3~4U Ul  
　　cos（-α）= cosα ^~gU~uO  
9t5 [LYV  
　　tan（-α）= -tanα ?AWohu?  
#Oa m ,d2  
　　cot（-α）= -cotα #^<1)6qE  
n,q+a 1J  
　　公式四： /C\[2w6R  
?3lax Ut8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =el85tKn  
,FIg #`  
　　sin（π-α）= sinα ]6w5nd_l@  
F)?<#L  
　　cos（π-α）= -cosα V=/g@$  
/ Q|e$  
　　tan（π-α）= -tanα ,@neOfCl  
&Tt9wn${7  
　　cot（π-α）= -cotα )AU9#\  
Wl'KBTW{T  
　　公式五： L/H'TK^kH  
VJZiz _!=  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Coa8:YM3bX  
ub%*^  
　　sin（2π-α）= -sinα QHXV*y}F  
\RV o\[ s  
　　cos（2π-α）= cosα m/r+:D  
7.wi^^42#  
　　tan（2π-α）= -tanα s4 }il<  
qqZmk^A`  
　　cot（2π-α）= -cotα .4&p`C"  
N`k^e|l_t  
　　公式六： \_<x5S:R@  
>lG)cy3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： KZ?(Ia6sH  
l xeu'};  
　　sin（π/2+α）= cosα ggFF'3%3L  
2B?JQbv=ZL  
　　cos（π/2+α）= -sinα !k)?w$'i  
e_Yov=H  
　　tan（π/2+α）= -cotα GsV FA:1C  
E"A8(IaVo  
　　cot（π/2+α）= -tanα 5@ t9q]  
r{Bjt #Xj  
　　sin（π/2-α）= cosα 4Xb 9z  
z@7`0K!k  
　　cos（π/2-α）= sinα pt9R6en  
yLwc1 1J  
　　tan（π/2-α）= cotα G2-u60TP[  
 )biF3>  
　　cot（π/2-α）= tanα mX4\uc$Jw  
W2ZNCjNP  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ^[i2pA}@=  
Y[k-1%+  
　　cos（3π/2+α）= sinα 967m)?  
k<!RM )y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα wISZW8a$  
AQO.AUQ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 0L&'2C*   
/xs82HD _  
　　sin（3π/2-α）= -cosα p~tM*o0q#  
uSH Q.H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα aNug f q  
r3kV.t  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,o)IWJw  
!=-d.  
　　cot（3π/2-α）= tanα lZ n/-XCPc  
M!s6#+#(  
　　(以上k∈Z) ,sIxBf,X  
1/$e6ABZ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 jZ;p7<9$  
mla9em|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -]_|+j  
G(aQa  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )Z`qtjA  
T 'os"!H  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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