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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ba(w[CqkS  
jZ#t#NM  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4:Jv=_\  
r;g 6"  
　　1、三角函数本质： Z8 \ZQKP  
] 'FUh#  
　　三角函数的本质来源于定义 f4HaRk>  
4G@m#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 giU8:"76  
Ewl [  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ZPJ<>d0j%Q  
oRgup @qY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Gt2st @2  
(m0@rpmA  
　　推导： ~hk7}R  
Mt-?@mG  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 l VM/ E?T  
=':${9I  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 7S?gnbN+  
y;cKQ/A)  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) xi,b$d  
~FfacA%I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I (p:F f^(  
\ h Tl*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >[Gv,Y  
LIyu$- 7n  
　　[1] 5b:A:.j b  
+4=   
　　两角和公式 6{r(dal  
-!y =$yJ'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3b^@Z.z,kb  
2x6-w&Z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ~/K8 m <?  
dje5N*91o  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB JtX*@ZV_,  
V DdGn/  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB gsw%Mb~E&  
2)=ZQ^D S  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \9oxj;b/  
*_xmQ1v  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) zVF 'zI  
MBD/W=:9Z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  y$@z~u  
"HCG`j)<!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nH l>sx&k  
l?8PiZ]V&  
倍角公式 U#UkGg+  
<h_B`TA?m(  
　　Sin2A=2SinA•CosA coMZ2ZN  
xU<|vx\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 6(y0"[   
4 ~[huY4u  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !J$][5u  
`O#^8b 0c  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <)miZo}  
=Cx:VBO;  
三倍角公式 -'<(WiF,  
!ZJynn1nU  
　　 .H!9E^wjt  
%k=;W9k/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) IK/`I`6lq  
vy ^@h  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) WG`"bM7  
5Ha.+eZ<  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) N<xp9c)Ao  
Eza7h#  
三倍角公式推导 ?A )aa?(6  
A 8O8cJWE  
　　sin3a P`C* 8[9  
{Z7tsK<  
　　=sin(2a+a) 3e-8Z)e0`  
<M>I8[T  
　　=sin2acosa+cos2asina :~WON9&;@O  
t[6j5bw8]  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Cs"-2mg  
)1,c~R'  
　　=3sina-4sin³a D;x6 J{  
S\sN$/82  
　　cos3a 2R]S@6Q  
Z*XBs7h  
　　=cos(2a+a) WTO~!3 Fp)  
aI-U7^dQ  
　　=cos2acosa-sin2asina 2 M?Tcog  
#_ p*y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ({C7 U}vt  
EMAj>otcJx  
　　=4cos³a-3cosa ZIVS@)SAd  
\Y-N<  
　　sin3a=3sina-4sin³a U2~HnXI  
q R:5fS  
　　=4sina(3/4-sin²a) C =e.*mJX  
yPd}u^=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] )RAry7)gY;  
lfy3SwQo  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) T,wFjT  
%JYjG8q'8  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]nAcN$  
3TFE ?i  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 9vB&,ys U  
rs|b  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) NCf sj}1  
~K}O)-h1k  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &f$)Mh*W  
+t@|{hKo  
　　=4cosa(cos²a-3/4) < ^.%Q@oM  
9#*zxF*Q[  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *8C'c3-  
 /Bf:QpE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ai ,\&ub  
f~>%qfJs  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  [Gn-.cT  
=;& qW/  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;{ .L]r =  
btp2%"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) P2<(r ,:S  
O!-AV  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~43YDT@1;$  
O"R#:Sg"KK  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] g)HB6nB+  
"0'LE"|8{  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) T| Zj:Z  
CO[j' ]  
　　上述两式相比可得 KSf_uqD5  
7Oj9S>>r  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ehSv~wC  
:myq5  
半角公式 1/s K\qXMg  
k C$z yG   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); o.SmZ;M  
u:GQ!dx(gE  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MY6.Ed*{  
A>?Q610quX  
和差化积 6|uN|!sk  
T`p<>:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] eF %AhA%  
>EOIqZ(9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b5 &|9,  
<X_"Ho e  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .G\#M g3  
V(dI:}  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 74/WI<.C/;  
o0HuqeG0\p  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) uR*j@J9F  
kV4bcCG.  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) EV ;T{Kd  
Jui\MH!h  
积化和差 ;.A!V Xo  
L7J4 C~J{8  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] AC Hb5XB  
PJ@E^Njy  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9D*J8]o\  
Q4#7f(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] :leGm?o  
x<GsWj^  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4G2WZ" w  
kY"z+8Tt  
诱导公式 ,?F%I  
jMU3h  
　　sin(-α) = -sinα dwgA'02D(g  
KW7$?v@n!  
　　cos(-α) = cosα Cjg ' uga  
I0p{$KH  
　　sin(π/2-α) = cosα <d_N2@i  
+86+MM/J,  
　　cos(π/2-α) = sinα h=?$X/m*  
h*V"W`*  
　　sin(π/2+α) = cosα Osb"]-d  
r) *T/EC  
　　cos(π/2+α) = -sinα q +s82V  
A =82<[[^  
　　sin(π-α) = sinα {RV?T$  
! t9j,1  
　　cos(π-α) = -cosα D27T\1  
Ifm{ 4{\0  
　　sin(π+α) = -sinα N0A/_:  
xLElrnxUX  
　　cos(π+α) = -cosα l1m_Yj  
2c h ;:  
　　tanA= sinA/cosA /n}Pm#7(R}  
.k8,Vsd  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα M:kH'gN  
<@m N  
　　tan（π/2－α）＝cotα Hx1nDj]*'"  
S\Q m &  
　　tan（π－α）＝－tanα Nyr^0=l  
3UPh  
　　tan（π＋α）＝tanα %22 j}xn  
dKL f N=  
万能公式 5C 0SD%3<  
5zHc va  
　　 ly_AjRtwX  
,WWIL{7F  
其它公式 8'mp,!Hp  
Ty- agWut7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~ ce;  
;I6.4IC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 RrQac i  
3I]UtuP37w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 q{KPCEnY  
7[ 5,}O.  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %Lt D;D,6N  
MtSsPJ6  
　　对于任意非直角三角形,总有 mF iM6w  
YO.*1YJwx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >g&=t#3]+  
\apS  
　　证: *V!&'gza  
NOV |m~8  
　　A+B=π-C dt6WR'Hnx  
qU.kU4:]  
　　tan(A+B)=tan(π-C) WC\Xz  
&F.xM]!k/=  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d1t`wf%_  
EUY8bYsXS  
　　整理可得 G_HToT:&NP  
F Il@ECq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GdHq FuY}  
`EO!;&c0  
　　得证 {DBI(b6  
;9[6q%nl  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 US8bB:5T  
`FvwR`6R`L  
其他非重点三角函数 LBXng4  
0 %}isg1^  
　　csc(a) = 1/sin(a) eeJ\i+U  
Uwwh-D*  
　　sec(a) = 1/cos(a) hc(JG  
?(TUn%XcC  
　　 \ ~5eD  
GC$($hD3  
双曲函数 LXBeEjc  
VM lm'  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cWTtQ V?eB  
 7[^g i:1  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p.;h^)Y`  
$wSI-5cR  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) s}/}t  
til3.  
　　公式一： /2+ x0I  
[`O$HP_(  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,EA}%s>+}  
/4NF8u(&a:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ZJA|Td^ p  
.T%HFZ5qc  
　　cos（2kπ＋α）= cosα L"}GPPh[  
(v<qpi7"  
　　tan（kπ＋α）= tanα #| 3{+=M  
G'4h rL|>  
　　cot（kπ＋α）= cotα m"up.YWb  
)4?gF5J+{0  
　　公式二： BEV:07jR  
y^JL[0*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： y;"T0MLa  
T0m`IfUVB  
　　sin（π＋α）= -sinα |y"1] g c  
csGiFCv  
　　cos（π＋α）= -cosα ~~<M-I<\<  
.L!;b.u*A  
　　tan（π＋α）= tanα L M+:H  
*{L[UnSH  
　　cot（π＋α）= cotα OQ]oQ` ^e;  
J?(m9ZF  
　　公式三： H}rp{-9   
*69"M^kwk  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： JB#df,o  
4i3_7a#v  
　　sin（-α）= -sinα sPl5X|[Y  
L3yl3G #"  
　　cos（-α）= cosα 17=rLk \  
M%'bsnf$  
　　tan（-α）= -tanα sN""% 36>I  
-rMU+3.k'  
　　cot（-α）= -cotα #aQ)bt 9.U  
z;Y a;nk  
　　公式四： H$K[fi  
WZ~~$$%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： c {87zz0Wp  
/^>dYQb,  
　　sin（π-α）= sinα k6vhA `a]  
=EN1 %&@  
　　cos（π-α）= -cosα @j1n9-wP#  
Y]{8\~l  
　　tan（π-α）= -tanα ('d6eb  
uU!}_F+  
　　cot（π-α）= -cotα :c t]V o;  
6/Z04k".!h  
　　公式五： @q0/_1R  
i* An7MM  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： R?Mu_&))  
]T0Z{pW  
　　sin（2π-α）= -sinα {-DJRP2  
]?bs qm_  
　　cos（2π-α）= cosα L)y'8!%M  
"V.s 2!R=  
　　tan（2π-α）= -tanα +rc6V S  
{BR!4Eu  
　　cot（2π-α）= -cotα aJW)z1.X{  
1rZU]QR  
　　公式六： 3%&6[l  
7r~,BD@j  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ^_V{g"'2^  
yE? u@#)  
　　sin（π/2+α）= cosα * ]^_f5EiK  
";Jhsn!:  
　　cos（π/2+α）= -sinα fW5"[iFR  
:\3+JP3EZ  
　　tan（π/2+α）= -cotα ZI;t ;  
i]5E_  
　　cot（π/2+α）= -tanα G3$X*f+4(  
RK\VK(f  
　　sin（π/2-α）= cosα <m1~|/Yb  
%hA-1hYs&  
　　cos（π/2-α）= sinα +p?HAVB'%  
=EwY^5  
　　tan（π/2-α）= cotα QR4@;P'TZ6  
-y"s;9>=  
　　cot（π/2-α）= tanα Q]~JyaTv-  
B eAZK_  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )nl22Qj/  
t(J64R  
　　cos（3π/2+α）= sinα %i! aO'q  
r(Mv!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ePJ)Vt^/8  
SQK=$Bb  
　　cot（3π/2+α）= -tanα g5xKw4di  
^IN ; 1W|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  Q/~>]Sb  
jMq}80dyMg  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `l*@32h  
4Gl+v h  
　　tan（3π/2-α）= cotα vtB| fNr\  
mX9L4HH  
　　cot（3π/2-α）= tanα @oPeS+{G=.  
]Er+6 #c  
　　(以上k∈Z) Ou00h*"2k  
9a0wK0#  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  oNAJG)  
Z>  t\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = s'*%]flc_  
VF!d30;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } > gz*h+q  
$8b DcbY\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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