三角函数内容规律 2J^'5Da
s]ZrAk
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S~ &>V;u
T%3rZte)\
1、三角函数本质: <_7[o$ry
TKi Y
三角函数的本质来源于定义 +qq ic.2
CAL;xx
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 = toP|`zK
IBBxN*;
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 %U?<!YlF
$? fr \
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: S9j_j%&S
;J,j/%qv
推导: e
Ks?eH6vv
l\^ 9q@
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 0%#M>
Pg
(x;+:l
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O|K)i_DAH
N? ck
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HNc"A776!
eQK2 hp?
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W&7h`\T
0Nb@zLvI
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) um_/R=X`z;
b )J
X
[1] rW>_vI*tj[
gij>hS8{
两角和公式 9IEUZ+"h^
\<mUFCDRPR
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D'04@>'
v#`">{k!
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB t6
fT!|uN
{Y`eg|V
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Z*&|?
E)@xSa832d
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vlK*&-?a
.{NkJ5 MZ
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) N1J
b7L
KeC;0K[HJ
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) r)O,fk
CjQmp+0{w
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) Rva+nUnr?f
rD
XB~&L
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %@(5 b^
cL{%ni
倍角公式 -Im3)#Wz]
}^I,d~*
Sin2A=2SinA•CosA k)i,@RCk
sp|I:dL
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Xt%(~0
8m?l@)
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) '!Pv
b_
5Z-Uc.y4
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )
5VV5
?lC
xLS,w}-
三倍角公式 $]X?`}$
PcTdl*VZSS
TAP}9e
D!Yg|X*
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) blNur:X{
YW(DQ2[
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {WxwOb/+T
-xoIc^q
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |<`VI wL
+aj43
MS
三倍角公式推导 bz(uqydoR
hsfabRqR
sin3a -BLuiqn9-
ycpR$Tj6J
=sin(2a+a) Pd~
3}}&
.bY"WB?5
=sin2acosa+cos2asina lh_
u/N
Mkg9ysgy
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Z*?~~Mm1?
*GDE'w?]
=3sina-4sin³a wY/BQjx,m
GHBCO [&$
cos3a IlFa+M:q
JB[XPS-
=cos(2a+a) 8]]oQ=s
P
a;m.Q@#M
=cos2acosa-sin2asina 1tII>MB
Fav8."(_&
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa h*?P<\
q)KcgzC
=4cos³a-3cosa c 1cas;y
/u<vl0lZ9
sin3a=3sina-4sin³a EUa 3
E
5JfhDmIY`
=4sina(3/4-sin²a) lN]f8\
PP
PCIu-M,
=4sina[(√3/2)²-sin²a] AEP\wr*8r
I)|nNU6(
=4sina(sin²60°-sin²a) OxLl=2uX%
%r6~eBT
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) "8D5GZ4r
PKm"3:k</
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ! rRjZC
(5_
%D
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?^f+g#
Dl-0Ilq
cos3a=4cos³a-3cosa xD~r!0
gx>0TNQfK
=4cosa(cos²a-3/4) 6?EyevXiv
uE%aLAz--
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] APC.hv
n^YiL1q>:
=4cosa(cos²a-cos²30°) pC AS5zPW^
(TBqm=qb
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) D_WU<@K22
rSR ;T
&
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *Q\,aX
5?1wG"[
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `(
_>gy
{?\hrpB
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \N-[wt&(C
@]]iK$Mx$
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [Kw-.;P'
ntMAB#D
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `}BE*K1#
?PKc`kQ.{
上述两式相比可得 ``
N2OPX
;{r[W1W'
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) dm3Y*6@&
^t5{N
半角公式 V""R#"ab
[u4H
dOs
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >Yq|k *
h?(BL*d
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6x'M5kgHz
=ZWFWVW'M
和差化积 :, `{MN
(%A8 NU
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U.g.g
O(kD gSc
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;OrCOO
`!Q2:wI,F
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UkN-1IwQP
CA]:.%
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] PFn:`dEH
|XqGf2
&
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Qca^dnVp
f YNJs?
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }VYh%r
SDaF8
m
积化和差 |u&d0Y
sN
QL}2h
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] j[^!
hEez
{5 !hY^t
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] lj5g>V
&j~*dW
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] OHnxg
3"k@c;gJ'
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
t;}yE c
B,5n"}l
诱导公式 Y`fwPN -o
%p]FaM<E8v
sin(-α) = -sinα A{,}^=T
zYy}a[F
cos(-α) = cosα *Kl_e!On>
]3N ;Y#
sin(π/2-α) = cosα lAtr
9"
{^|~;'z
cos(π/2-α) = sinα i.j@
-8S
F;+ ld|_
sin(π/2+α) = cosα lb|x<x
\;%>8G34
cos(π/2+α) = -sinα ))l_DD8_
bSc[5m
sin(π-α) = sinα kC"piR-O
L8X:n
P)W
cos(π-α) = -cosα 6v5H*_9
E62:Hs
sin(π+α) = -sinα
FEEEJQal
f,$'TfN)s
cos(π+α) = -cosα KAWaOT=
L3w|T
wug
tanA= sinA/cosA ?S75p'
M&pv.
tan(π/2+α)=-cotα D\W/yL
5hKR: q
tan(π/2-α)=cotα -a,g5
^+pb6Y#&
tan(π-α)=-tanα EW3#MNH
Wryb$[3v
tan(π+α)=tanα n Ae}XRB
2*>a2f
万能公式 KU
;*y{
'$>'}]r
Y
U)y(-FC5Y
e[&%'
其它公式 xT3pv+9
fHE hXv?;
(sinα)^2+(cosα)^2=1 #`2S:)!y
b'Pb;mK
1+(tanα)^2=(secα)^2 h T6r
;A>
T}S&]]5GV
1+(cotα)^2=(cscα)^2 lr[LN7a
M\%.$K$
X
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;7]Dg-V&F
1X}K;gk$[
对于任意非直角三角形,总有 s]'Mx@QB`
[D&7&~N1
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC PZ=eGm!x
Ba`t/CN$
证: T`;Fys9TE[
Hg>:=H*
A+B=π-C -o'D_i[a
MKTmT(1
tan(A+B)=tan(π-C) nU,)dh3G
;x'd`4*:E
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .m8+|.
m9>g^=et7
整理可得 ke4~a
+(KPE@MU~
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D7`rI+
m1%#F<$b
得证 AB/(!_|Kf
6%$&J{#
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~N)R6g|Z
Ti^R)wFpv&
其他非重点三角函数 e I~XE8i
rGjD*Iy@
csc(a) = 1/sin(a) lL4<F"1
^9GOT 8xE
sec(a) = 1/cos(a) DkB}%)$@I
A@P?|5gmZj
8?Q+XXT(
7092^Z`#)
双曲函数 \.Jet_f
-}zSqQ9G
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 CiQHsVP<e
Q6#L~Sez{
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :g{mI<(
8
*J2tdaR;O
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) g.?B(>
w:; vR
公式一: _v"\CtK
V*ws/S[^
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: hPeFi}bm}
)E5~PH_d
sin(2kπ+α)= sinα 2Jg[4?o](
,ei08[[jf
cos(2kπ+α)= cosα rSvT^2 3
Iz"m=$BQ?
tan(kπ+α)= tanα v}LWH6*
8
icwwq'Qo
cot(kπ+α)= cotα FF!VJA1X
wL\nhW>
公式二: s1wz*U|}['
[jH(aI
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: S:M)c"Q
C
tG:^J,-{L
sin(π+α)= -sinα LW X< z
[h ra@i
cos(π+α)= -cosα
l@-rtD
D7Ok/4V*
tan(π+α)= tanα uH* rN
I
2x>hsyRI
cot(π+α)= cotα D~)_=P*5rD
qp2w|J.b
公式三: VW80o7nM
3g{tuP
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: de|v?y;
$Qu/#Yq:6
sin(-α)= -sinα _lB[cu"<
*3~4UUl
cos(-α)= cosα ^~gU~uO
9t5[LYV
tan(-α)= -tanα ?AWohu?
#Oa
m,d2
cot(-α)= -cotα #^<1)6qE
n,q+a 1J
公式四: /C\[2w6R
?3laxUt8
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: =el85tKn
,FIg#`
sin(π-α)= sinα ]6w5nd_l@
F)?<#L
cos(π-α)= -cosα V =/g@$
/ Q|e$
tan(π-α)= -tanα ,@neOfCl
&Tt9wn${7
cot(π-α)= -cotα
)AU9#\
Wl'KBTW{T
公式五: L/H'TK^kH
VJZiz _!=
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: Coa8:YM3bX
ub%*^
sin(2π-α)= -sinα
QHXV*y}F
\RVo\[ s
cos(2π-α)= cosα m/r+:D
7.wi^^42#
tan(2π-α)= -tanα s4}i l<
qqZmk^A `
cot(2π-α)= -cotα .4&p`C"
N`k^e|l_t
公式六: \_<x5S:R@
>lG)cy3
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: KZ?(Ia6sH
l
xeu'};
sin(π/2+α)= cosα ggFF'3%3L
2B?JQbv=ZL
cos(π/2+α)= -sinα !k)?w$'i
e_Yov=H
tan(π/2+α)= -cotα GsVFA:1C
E"A8(IaVo
cot(π/2+α)= -tanα 5@ t9q]
r{Bjt#Xj
sin(π/2-α)= cosα 4Xb 9z
z@7`0K!k
cos(π/2-α)= sinα pt9R6en
yLwc11J
tan(π/2-α)= cotα G2-u60TP[
)biF3>
cot(π/2-α)= tanα mX4\uc$Jw
W2ZNCjNP
sin(3π/2+α)= -cosα ^[i2pA}@=
Y[k-1%+
cos(3π/2+α)= sinα 967m)?
k<!RM
)y
tan(3π/2+α)= -cotα wISZW8a$
AQO.AUQ
cot(3π/2+α)= -tanα 0L&'2C*
/xs82HD_
sin(3π/2-α)= -cosα p~tM*o0q#
uSHQ.H
cos(3π/2-α)= -sinα aNug f
q
r3kV.t
tan(3π/2-α)= cotα ,o)IWJw
!=-d.
cot(3π/2-α)= tanα lZ n/-XCPc
M!s6#+#(
(以上k∈Z) ,sIxBf,X
1/$e6ABZ
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 jZ;p7<9$
mla9em|
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = - ]_|+j
G(aQa
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )Z`qtjA
T
'os"!H
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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